Dimension des Kerns einer Surjektiven Abbildung über dem F3 Körper

Question

Aufgabe: Eine surjektive lineare Abbildung über den F3 Körper ist gegeben durch:

$$\phi: \mathbb{F}_{3}^{4} \rightarrow \mathbb{F}_{3}^{2}$$ mit $$\mathbb{F}_{3}={0,1,2}$$

Es soll die Mächtigkeit/Elementanzahl des Kerns bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

Die Musterlösung sieht als Lösung 9 vor. Leider verstehe ich überhaupt nicht, wie man auf die 9 kommen soll.

Mein Überlegung: da es sich um eine surjektive Abbildung handelt, ist dim(Bild)=dim(F^2), mittels des Dimensionssatz ließe sich so die Dimension des Kerns bestimmen. Diese müsste durch dim(F^4) - dim(F^2) = 2 sein. Aber wie man nun auf 9 kommen soll ist mir unklar. Hat jemand einen Tipp? :-)

Answer 1

Du bist schon fast fertig. Der Rangsatz ist genau der richtige Weg.

Der Kern hat also Dimension 2 und ist deshalb isomorph zu \( \mathbb{F}_3^2 \). Wie viele Vektoren liegen in diesem Vektorraum? Tipp: Du kannst diese in der Form

$$ \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix},\quad a,b \in \mathbb{F}_3 $$

darstellen.

Wie viele Vektoren liegen also im Kern?

Comments

Hm, naja da die Lösung 9 ist wahrscheinlich 2^3 = 9.

2^3, weil wir zwei freie Variablen haben und jede variable 3 "mögliche" Zahlen annehmen kann?

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$$2^3=9$$

Probier's mal mit \( 3^2 = 9 \) ;)

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oh haha, meine ich natürlich ...

Das passiert, wenn man den ganzen Tag für Uni lernt ^^

Danke dir!

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nochmal eine kurze Ungewissheit: der Kern beschreibt ja alle Elemente die auf den Nullvektor abbilden, da wir aber aus dem $$F_{3}^4$$ abbilden, müssten es doch eigentlich Spaltenvektoren aus 4 Elementen sein oder?

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Ja, im Kern sind dann tatsächlich Vektoren mit 4 Komponenten.

Der Kern ist aber isomorph zum \( \mathbb{F}_3^2 \), d.h. es existiert eine bijektive Abbildung

$$ \psi : \ker \phi \to \mathbb{F}_3^2 $$

Du kannst also jedem 4 komponentigen Vektor des Kerns genau einen zweikomponentigen Vektor zuordnen. Die Anzahl verändert sich dadurch nicht.

Allgemein gilt: Ist \( K \) ein endlicher Körper und \( U \) ein \( K \)-Vektorraum mit Dimension \( m \), dann hat \( U \) gerade \( (\#K)^m \) Elemente.

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ah natürlich, hatte einen Denkfehler, vielen Dank nochmal!