Stochastik: Dreistelligen Zahlen, die an erster Stelle eine 5 oder an der letzten Stelle eine 6 besitzen.

Question

Aufgabe:

Auf dem Kreuzfahrtschiff befindet sich ein Spielsalon. Ein Automat besteht aus drei rotierenden Scheiben, die jeweils mit den Ziffern 1 bis 9 beschriftet sind. Jede Ziffer erscheint mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Beim Spiel erzeugt man dreistellige Zahlen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A: = "Es wird eine Zahl mit drei gleichen Ziffern erzeugt."

B: = "Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 oder an der letzten Stelle eine 6 besitzt."

Problem/Ansatz:

Ich habe schon P(A) gelöst, aber ich verstehe die P(B) nicht, weil man ja doch drei Ziffern braucht, aber nur von zwei Ziffern die Rede ist.

P(A) = 9/729 (weil 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999)

Nachtrag in Kommentar: Und wenn ich P(B) mit der Formel P("Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 besitzt.") + P("Es wird eine Zahl erzeugt, die an der letzten Stelle eine 6 besitzt.") - P ("Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 und an der letzten Stelle eine 6 besitzt.") ausrechnen möchte. Wie funktioniert das dann? 

Also: P(C) + P(D) - P(C und D) (<- Beispiel)

Answer 1

B: = "Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 oder an der letzten Stelle eine 6 besitzt."

Gegenereignis:  "Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle keine 5 UND an der letzten Stelle keine 6 besitzt."

Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist (8/9)*(8/9)=64/81.

Demzufolge hat B die Wahrscheinlichkeit 1-(64/81)=17/81.

Answer 2

B: = "Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 oder an der letzten Stelle eine 6 besitzt."


Problem/Ansatz:

Ich habe schon P(A) gelöst, aber ich verstehe die P(B) nicht, weil man ja doch drei Ziffern braucht, aber nur von zwei Ziffern die Rede ist.

P("Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 besitzt.") + P("Es wird eine Zahl erzeugt, die an der letzten Stelle eine 6 besitzt.") - P ("Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 und an der letzten Stelle eine 6 besitzt.")

P(C) + P(D) - P(C und D)

C n D = {516, 526, 536, 546, ...., 596}

| C n D | = 9 , wenn ich richtig gezählt / gerechnet habe. (Rechnung 1*9*1)

P(C n D ) = 9/(9^3) = 1/81

P(C oder D)

= P(C) + P(D) - P(C und D)

= 1/ 9 + 1/ 9 - 1/ 9^2 

= 9/ 9^2 + 9/ 9^2 - 1/ 9^2

= 17/ 9^2

= 17 / 81

Hinweis: Bei P(A) kannst du übrigens auch kürzen.

P(A) = 9/729 (weil 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999)

Die günstigen Ausfälle sind 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 und 999. Somit 9 günstige Ausfälle.

Zahl der möglichen Ausfälle 9*9*9 = 9^3

P(A) = 9 / (9^3) = 1/(9^2) = 1/81.

Comments

Und wenn ich P(B) mit der Formel P("Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 besitzt.") + P("Es wird eine Zahl erzeugt, die an der letzten Stelle eine 6 besitzt.") - P ("Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 und an der letzten Stelle eine 6 besitzt.") ausrechnen möchte. Wie funktioniert das dann? 

Also: P(C) + P(D) - P(C und D) (<- Beispiel)

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Die Formel

P(C) + P(D) - P(C und D)

benutzt man für P(C oder D).

P(C oder D) 

= P(C) + P(D) - P(C und D)

= 1/ 9^2 + 1/ 9^2 - 1/ 9^3

= 9/ 9^3 + 9/ 9^3 - 1/ 9^3

= 17/ 9^3

= 17 / 729

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1/ 9² + 1/ 9² - 1/ 9³

Hier sollte wohl  1/9 + 1/9 - 1/9²  = 17/81   stehen

B: = "Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 oder an der letzten Stelle eine 6 besitzt."

|B|=9 stimmt dann in der Antwort natürlich auch nicht.

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Hallo Wolfgang: Danke. Ich habe nun meine Antwort berichtigt. (?)

Answer 3

P(A) = 9/729  kann man kürzen =1/81

B: = "Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 oder an der letzten Stelle eine 6 besitzt."

Auch hier gibt es 9 günstige Fälle 516; 526; 536; 546; 556; 566; 576, 586, 596 und 9³ mögliche Fälle.

P(B)=1/81.  

Comments

Und wenn ich P(B) mit der Formel P("Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 besitzt.") + P("Es wird eine Zahl erzeugt, die an der letzten Stelle eine 6 besitzt.") - P ("Es wird eine Zahl erzeugt, die an erster Stelle eine 5 und an der letzten Stelle eine 6 besitzt.") ausrechnen möchte. Wie funktioniert das dann? 

Also: P(C) + P(D) - P(C und D) (<- Beispiel)

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P(C) + P(D) - P(C und D)

1/81 + 1/81  -  1/81   = 1/81

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an erster Stelle eine 5 oder an der letzten Stelle eine 6 besitzt
...
9 günstige Fälle 516; 526; 536; 546; 556; 566; 576, 586, 596

das sind wohl nicht alle günstigen Fälle!

81 + 81 - 9 (doppelte!) = 153  →  153/729 = 17/81

P(C) + P(D) - P(C und D)
1/81 + 1/81  -  1/81  = 1/81

  9²/9³ + 9²/9³ - 9/9³ = 17/81