Aloha :)
zu d) Produktregel, dann Kettenregel:$$\left(\underbrace{5x^2}_{=u}\,\underbrace{\sin\alpha x}_{=v}\right)'=\underbrace{10x}_{u'}\,\underbrace{\sin\alpha x}_{=v}+\underbrace{5x^2}_{=u}\,\underbrace{\left(\sin\alpha x\right)'}_{=v'}$$$$=10x\,\sin\alpha x+5x^2\cdot\underbrace{\cos\alpha x}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\alpha}_{\text{innere}}=10x\,\sin\alpha x+5\alpha x^2\,\cos\alpha x$$
zu b) Kettenregel, dann Quotientenregel:$$\left(\sqrt{\tan x}\right)'=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(\tan x\right)'}_{\text{innere}}=\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}\cdot\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'$$$$=\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}\cdot\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\,\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\,\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2 x}_{=v^2}}=\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}\cdot\left(1+\tan^2x\right)$$Wichtig ist hier noch, dass \(\tan x\ge0\) gelten muss, damit die Wurzel definiert ist und dass in der Ableitung sogar \(\tan x>0\) gelten muss, damit man nicht durch \(0\) dividiert. [Das ist in der Aufgabe auch gefragt!]
zu e) Quotientenregel und Kettenregel:
$$\left(\frac{\overbrace{1-\cos^2x}^{=u}}{\underbrace{1+\cos^2x}_{=v}}\right)'$$$$=\frac{\overbrace{\overbrace{-2\cos x}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{\text{innere}}}^{=u'}\cdot\overbrace{(1+\cos^2x)}^{=v}-\overbrace{(1-\cos^2x)}^{=u}\cdot\overbrace{\overbrace{2\cos x}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{\text{innere}}}^{=v'}}{\underbrace{(1+\cos^2x)^2}_{=v^2}}$$$$=\frac{2\sin x\,\cos x\cdot(1+\cos^2x)+2\sin x\,\cos x\cdot(1-\cos^2x)}{(1+\cos^2x)^2}$$$$=\frac{4\sin x\,\cos x}{(1+\cos^2x)^2}$$
