Matrix-Darstellung bezüglich Standard-Basis mit Drehung und Spiegelung

Question

Aufgabe:

Sei $f : R^3 \rightarrow R^3$ die lineare Abbildung, die zunächst wird um 30° um die e2-Achse gedreht, und zwar gegen den Uhrzeigersinn, wenn man aus Richtung der positiven e2-Halbachse auf die e1-e3-Ebene blickt, dann wird an der e1-e2-Ebene gespiegelt und schließlich um 90° um die e1-Achse gegen den Uhrzeigersinn gedreht.

Bestimmen Sie die Matrix-Darstellung von f bezüglich der Standard-Basis (e1, e2, e3).

Problem/Ansatz:

1. 30° um die e2-Achse (z-Achse?): $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \sqrt3 & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. Spiegelung e1-e2-Ebende: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

3. Drehung 90° um die e1-Achse: ?

Nun weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Zum einen am Punkt 3 (90° Drehung), sowie das weitere Vorgehen. Reicht es, wenn ich am Ende die Matrizen einfach nur multipliziere?

Answer 1

Hallo

 normalerweise nennt man die Achsen in der Reihenfolge x,y,z dann ist e2 die y-Achse

90Grad um e1 =xAchse also cos90° und sin90° verwenden,

am Ende die 3 Matrices multiplizieren von mit 3te *2te mal erste.

Gruß lul

Comments

Ok, habe die drei Punkte nun abgehakt.

Punkt 1 wäre die Drehmatrix um die y-Achse, also einfach einsetzen und Punkt 3 die Drehmatrix um die x Achse mit cos90°=0 und sin90°=-1 (da gegen den Uhrzeigersinn).

Wieso muss ich nun die drei Matrizen von hinten aus rechnen? Also wie du sagst die 3te * 2te * 1te

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Wieso muss ich nun die drei Matrizen von hinten aus rechnen? Also wie du sagst die 3te * 2te * 1te

Seien $A_1$, $A_2$ und $A_3$ die drei Matrizen und $A_1$ sei die erste, die die Drehung um die $e_2$-Achse um 30° realisiert. Dann ist die Gesamttransformation eines Punktes $x$ nach $x'$:$$x' = A_3 \cdot A_2 \cdot \underbrace{A_1 \cdot x}_{\text{dies zuerst}}$$genau in dieser Reihenfolge, da $x$ zuerst mit $A_1$ und erst danach das Ergebnis dieser Drehung mit $A_2$ an der $E_{12}$-Ebene gespiegelt wird usw.

Dies gilt zumindest in der üblichen Spaltenschreibweise der Vektoren. Das kann man auch transponieren. Genauso richtig ist:$$x'^T = \underbrace{x^T \cdot A_1^T}_{\text{dies zuerst}} \cdot A_2^T \cdot A_3^T$$... aber diese Schreibweise ist nicht üblich.

Es kommt als nicht darauf an, wie es geschrieben wird, sondern in welcher Reihenfolge die Multiplkationen mit $x$ durchgeführt werden. Und die ist in beiden Fällen 1, 2, 3.

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Dann wäre also mein Ergebnis wie folgt:

$x' = A_3 \cdot (A_2 \cdot A_1)$ = $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt3 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\sqrt3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

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Dann wäre also mein Ergebnis wie folgt:

Ich komme mit den drei Matrizen $$A_1 = \begin{pmatrix} \frac 12 \sqrt 3& 0& \frac 12 \\ 0 & 1& 0\\ -\frac 12 & 0& \frac 12 \sqrt 3\end{pmatrix} \\ A_2 = \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1 \end{pmatrix}\\ A_3 = \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 0& -1 \\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}$$auf das Ergebnis$$A_3 \cdot A_2 \cdot A_1 = \begin{pmatrix} \frac 12 \sqrt 3& 0& \frac 12\\ -\frac 12& 0& \frac 12 \sqrt 3\\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}$$Deine Matrix $A_3$ sieht wahrscheinlich anders aus ...

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Meine $A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, da wir gegen den Uhrzeigersinn drehen.

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..., da wir gegen den Uhrzeigersinn drehen.

Ja das ist richtig, da mathematisch positiv. Schau Dir folgendes Bild an:

(.. und klick drauf) das kleine Koordinatensystem ist gegenüber dem großen um $\colorbox{#ffff00}+90°$ in Richtung der X-Achse gedreht. Das ist gegen den Uhrzeigersinn, wenn man gegen die Richtung der X-Achse auf das System schaut.

Die neue Y-Achse (blau) zeigt nach oben, alos in positive Z-Richtung $\to \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$, das ist die zweite Spalte von $A_3$. Die neue Z-Achse (rot) zeigt in negative Y-Richtung $\to \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0\end{pmatrix}$. Das ist die dritte Spalte von $A_3$.

Dein $A_3$ ist eine Drehung um $\colorbox{#ffff00}{-90°}$.