Mathematik-Olympiade: Ganze Zahlen

Question

Aufgabe:

Ich weiß  dass diese Aufgabe von der Mathematik Olympiade ist. Dennoch versuche ich diese Aufgabe seit Tagen zu lösen. Daher wende ich mich an euch.

Die Frage lautet so:

20x^2-19y^2=2019

Wieso kann es dort keine ganzen zahlen für x und y geben, die die gleichung erfüllen.

Problem/Ansatz: Ich glaube das hängt mit 3 binonischen Formel zusammen. Hatte mal solch eine ähnliche Aufgabe gesehen. Nur so:

x^2-y^2=30 ist das gleiche wie

(x+y)(x-y)=30 Daraus konnte man es ableiten.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ganze Zahl als Ergebnis

Stichworte: ganze-zahlen,binomische-formeln

Die Frage lautet so:

20x^2-19y^2=2019

Wieso kann man keine ganze Zahlen für x und y rausbekommen, die die gleichung erfüllen.

Problem/Ansatz: Ich glaube das hängt mit 3 binonischen Formel zusammen. Hatte mal solch eine ähnliche Aufgabe gesehen. Nur so:

x^2-y^2=30 ist das gleiche wie

(x+y)(x-y)=30 Daraus konnte man es ableiten.

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Schöner Zweitaccount.

Answer 1

Hallo Elias

Wenn wir uns zunächst nur die Gleichung

\(20x-19y=2019\)

anschauen fällt uns auf das \(x=y=2019\) eine Lösung ist.

Wir müssen also nun eine Zahl finden, die im Qudrat 2019 ergibt, aber es ist \(\sqrt{2019}∉\mathbb{Z}\)

Wir können das am besten hieran erkennen:

\(\sqrt{2019}=\sqrt{3*673}=\sqrt{3}*\sqrt{673} ∉ \mathbb{Z},\) da 3 und 673 prim \(\square\)

Comments

Die Gleichung

20x-19y=2019 hat aber noch mehr Lösungen, was ist mit denen?

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Bei dir steht aber 20x-19y. Obwohl x und y im Quadrat stehen...