Aufgabe:
Sei $$ W=\operatorname{span}\left\{7, e^{t}, e^{2 t}, e^{-3 t}\right\} \subset C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $$ der lineare Unterraum der reellwertigen differenzierbaren Funktionen.
Sei $$ \varphi : W \rightarrow W $$ gegeben durch die Formel: $$ f \mapsto 3 f+f^{\prime}+f(0) $$
Problem/Ansatz:
Ich muss die Dimension von W bestimmen und beweisen, dass die Abbildung ein Endomorphismus von W ist
$$ \begin{array}{l}{f(7)=21+0+7=28} \\ {f\left(e^{t}\right)=3 e^{t}+e^{t}+1=4 e^{t}+1} \\ {f\left(e^{2 t}\right)=3 e^{2 t}+2 e^{2 t}+1=5 e^{2 t}+1} \\ {f\left(e^{-3 t}\right)=3 e^{-3 t}-3 e^{-3 t}+1=1}\end{array} $$
$$ A=\left|\begin{array}{cccc}{4} & {0} & {0} & {0} \\ {\frac{1}{7}} & {4} & {0} & {0} \\ {\frac{1}{7}} & {0} & {5} & {0} \\ {\frac{1}{7}} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}{7} \\ {e^{t}} \\ {e^{2 t}} \\ {e^{2 t}}\end{array}\right| $$
stimmt das soweit?
