Ableitungsregeln ohne Geogebra bestimmen

Question

Klären Sie: Welche Auffälligkeiten/Gesetzmäßigkeiten können Sie zwischen f und f' erkennen? Versuchen Sie daraus für sich "Ableitungsregeln" zu formulieren, mit den man zukünftig auch ohne geogebra f' ganz leicht bestimmen kann.

f(x):=2x²

f(x):=2x³

f(x):=2x³+5x²

f(x):=2x³+5x²+7x

f(x):=2x³+5x²+7x+8

f(x):=8

Habt ihr da vielleicht eine Idee?

Liebe Grüße Clara

Answer 1

Aloha :)

Es geht hier offenbar um die 3 foglenden Regeln:

(1) Potenz-Regel:

$\phantom{(1) }$Bei einer Potemz $x^n$ wandert der Exponent $n$ als Faktor nach vorne

$\phantom{(1) }$und anschließend wird der Exponent um  1 vermindert:$$\phantom{(1) }\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$$

(2) Faktor-Regel:

$\phantom{(2) }$Ein konstanter Vorfaktor $a$ bleibt beim Ableiten ungeändert:$$\phantom{(2) }(\,a\cdot f(x)\,)'=a\cdot f'(x)$$

(3) Summen-Regel:

$\phantom{(3) }$Die Ableitung einer Summe ist die Summe der einzelnen Ableitungen:$$\phantom{(3) }\left(\,f(x)+g(x)\,\right)'=f'(x)+g'(x)$$

(4) Konstanten-Regel:

$\phantom{(4) }$Die Ableitung einer Konstanten $a$ ist $0$, also: $(a)'=0$.

Bei deinen konkreten Fällen sieht das dann so aus (die verwendeten Regeln habe ich über die Gleichheitszeichen geschrieben:

$$(2x^2)'\stackrel{2}{=}2(x^2)'\stackrel{1}{=}2\cdot2x^1=4x$$$$(2x^3)'\stackrel{2}{=}2(x^3)'\stackrel{1}{=}2\cdot3x^2=6x^2$$$$(2x^3+5x^2)'\stackrel{3}{=}(2x^3)'+(5x^2)'\stackrel{2}{=}2(x^3)'+5(x^2)'\stackrel{1}{=}2\cdot3x^2+5\cdot2x=6x^2+10x$$Bei der nächsten Teilaufgabe kannst du dieses Ergebnis direkt wieder nutzen:$$(2x^3+5x^2+7x)'\stackrel{3}{=}\underbrace{(2x^3+5x^2)'}_{=6x^2+10x}+\underbrace{(7x)'}_{\stackrel{2,1}{=}\,7}=6x^2+10x+7$$Bei der nächsten Teilaufgabe nutzen wir auch wieder das vorige Ergebnis:$$(2x^3+5x^2+7x+8)'\stackrel{3}{=}\underbrace{(2x^3+5x^2+7x)'}_{=6x^2+10x+7}+\underbrace{(8)'}_{\stackrel{4}{=}\,0}=6x^2+10x+7$$$$(8)'\stackrel{4}{=}0$$

Answer 2

Aus einem xⁿ wird n*/x^(n-1) , also etwa  aus  x³ wird 3x²

und wenn da noch ein Faktor vorsteht, etwa wie bei 2x² bleibt der erhalten.

Aus 2*x² wird 2*2x¹ = 4x

aus 2x³ =2*x³ wird 2*3x² = 6x²

und wenn du mehrere Summanden hast, geht das für jeden einzelnen so.

aus 7x = 7*x¹ wird 7*x⁰ = 7

Und aus einer Konstanten wird eine 0

Answer 3

Beim Ableiten oben findet man 4 wichtige Ableitungsregeln

Konstantenregel
Ein konstanter Summand wird abgeleitet zu 0.
[8]' = 0

Potenzregel
Eine Potenz von x wird abgeleitet, indem der Exponent als Faktor vor die Potenz geschrieben wird und der Exponent anschließend um 1 verringert wird.
[x]' = [x¹]' = 1·x⁰ = 1
[x²]' = 2·x¹ = 2·x
[x³]' = 3·x²

Faktorregel
Ein konstanter Faktor bleibt in der Ableitung erhalten.
[2·x³]' = 2·[x³]' = 2·3·x² = 6·x²

Summenregel
Die Ableitung einer Summe ergibt sich aus der Summe der Ableitungen jedes einzelnen Summanden.
[2·x³ + 5·x² + 7·x + 8]' = [2·x³]' + [5·x²]' + [7·x]' + [8]' = 6·x² + 10·x + 7 + 0