0 Daumen
893 Aufrufe

Aufgabe:

Hallo liebe Mitglieder der Mathelounge, ich hätte habe diese Aufgabe zum lösen:

Sei r ∈ R und seien v1 = (1,1,−r,0), v2 = (0,1,0,1), v3 = (1,0,1−r,r−1), v4 = (1, 3, 0, 3) Vektoren aus R^4.

Bestimmen Sie alle r ∈ R, für welche v4 eine Linearkombination der Vektoren v1, v2 und v3 ist.

Ich weiß, dass die Vektoren Lin. Abhängig sein müssen damit ich die Kombination darstellen kann,aber dieses ''r'' bringt mich durcheinander. Soll ich erstmal nach Gauß die Vektoren in Zeilenstufenform bringen und dann das LGS gleich den Werten von v4 setzen und erst dann r bestimmen?

Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen. Vielen Dank im voraus.

LG

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

x·[1, 1, -r, 0] + y·[0, 1, 0, 1] + z·[1, 0, 1 - r, r - 1] = [1, 3, 0, 3]

x + z = 1
x + y = 3
-r·x + z·(1 - r) = 0
y + z·(r - 1) = 3

Löse das Gleichungssystem und erhalte folgende beide Lösungen

x = 2 ∧ y = 1 ∧ z = -1 ∧ r = -1
x = 0 ∧ y = 3 ∧ z = 1 ∧ r = 1

r muss also ±1 sein.

Avatar von 487 k 🚀

Vielen Dank! :)

+1 Daumen

Schreibe doch alle 4 in eine Matrix und bestimme

die Zeilenstufenform.

Außer für r=1 oder r=-1 führt das auf eine Matrix

mit 1en in der Hauptdiagonale, dann sind sie also

lin. unabhängig.

In den anderen beiden Fällen kannst du ja r=1 bzw. r=-1

einsetzen und die Lin.komb. bestimmen.

Avatar von 289 k 🚀

Vielen Dank. :)

+1 Daumen

Aloha :)

Die 4 Vektoren sind genau dann linear unabhängig voneinander, wenn ihre Determinante mit ihnen als Spaltenvektoren oder Zeilenvektoren \(\ne0\) ist. Du sollst hier diejenigen \(r\) finden, für die die Vektoren voneinander linear abhängig sind, für die also die Determinante \(=0\) ist:$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 3\\-r & 0 & 1-r & 0\\0 & 1 & r-1 &3\end{array}\right|=\cdots=-r^2+1\quad\Leftrightarrow\quad r=\pm1$$Die \(\cdots\) stehen für die Berechnung der Determinante, die einzutippen ich mir hier gespart habe, um dir die Freude an der Berechnung nicht zu nehmen ;)

Avatar von 152 k 🚀

Dankeschön. :D Das ist aber lieb, ich fange direkt an!

War natürlich Spaß... ;)

Ich wollte nur noch die alternative Lösung mit der Determinante angeben, weil das oft schneller geht als die Matrix umzuformen.

Linear abhängig heißt aber noch nicht, dass tatsächlich der 4.

durch die ersten 3 darstellbar ist. Das müsste wohl noch

extra geprüft werden.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community