Linearkombination von Vektoren

Question

Aufgabe:

Hallo liebe Mitglieder der Mathelounge, ich hätte habe diese Aufgabe zum lösen:

Sei r ∈ R und seien v1 = (1,1,−r,0), v2 = (0,1,0,1), v3 = (1,0,1−r,r−1), v4 = (1, 3, 0, 3) Vektoren aus R^4.

Bestimmen Sie alle r ∈ R, für welche v4 eine Linearkombination der Vektoren v1, v2 und v3 ist.

Ich weiß, dass die Vektoren Lin. Abhängig sein müssen damit ich die Kombination darstellen kann,aber dieses ''r'' bringt mich durcheinander. Soll ich erstmal nach Gauß die Vektoren in Zeilenstufenform bringen und dann das LGS gleich den Werten von v4 setzen und erst dann r bestimmen?

Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen. Vielen Dank im voraus.

LG

Answer 1

x·[1, 1, -r, 0] + y·[0, 1, 0, 1] + z·[1, 0, 1 - r, r - 1] = [1, 3, 0, 3]

x + z = 1
x + y = 3
-r·x + z·(1 - r) = 0
y + z·(r - 1) = 3

Löse das Gleichungssystem und erhalte folgende beide Lösungen

x = 2 ∧ y = 1 ∧ z = -1 ∧ r = -1
x = 0 ∧ y = 3 ∧ z = 1 ∧ r = 1

r muss also ±1 sein.

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Vielen Dank! :)

Answer 2

Schreibe doch alle 4 in eine Matrix und bestimme

die Zeilenstufenform.

Außer für r=1 oder r=-1 führt das auf eine Matrix

mit 1en in der Hauptdiagonale, dann sind sie also

lin. unabhängig.

In den anderen beiden Fällen kannst du ja r=1 bzw. r=-1

einsetzen und die Lin.komb. bestimmen.

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Vielen Dank. :)

Answer 3

Aloha :)

Die 4 Vektoren sind genau dann linear unabhängig voneinander, wenn ihre Determinante mit ihnen als Spaltenvektoren oder Zeilenvektoren \(\ne0\) ist. Du sollst hier diejenigen \(r\) finden, für die die Vektoren voneinander linear abhängig sind, für die also die Determinante \(=0\) ist:$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{c}1 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 3\\-r & 0 & 1-r & 0\\0 & 1 & r-1 &3\end{array}\right|=\cdots=-r^2+1\quad\Leftrightarrow\quad r=\pm1$$Die \(\cdots\) stehen für die Berechnung der Determinante, die einzutippen ich mir hier gespart habe, um dir die Freude an der Berechnung nicht zu nehmen ;)

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Dankeschön. :D Das ist aber lieb, ich fange direkt an!

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War natürlich Spaß... ;)

Ich wollte nur noch die alternative Lösung mit der Determinante angeben, weil das oft schneller geht als die Matrix umzuformen.

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Linear abhängig heißt aber noch nicht, dass tatsächlich der 4.

durch die ersten 3 darstellbar ist. Das müsste wohl noch

extra geprüft werden.