Lösung quadratischer Gleichungen

Question

Aufgabe:

Bestimme jeweils die Lösungsmenge mithilfe der quadratischen Ergänzung oder der Lösungsformel

Problem/Ansatz:

X ² +5 mal +6 gleich null

X ² plus X -12 gleich null

X ² -4 mal -32 gleich null

X ² +7 mal +10 gleich null

X ² +3 mal -10 gleich null

X ² -12 mal -45 gleich null

X ² +8 mal -48 gleich null

Answer 1

Mit der pq-Formel:

Theorie:

https://www.matheretter.de/wiki/pq-formel oder

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/pq-formel-quadratische-gleichungen-mathematik.html

x^2+x-12=0

x_1.2= -1/2 ±√(1/4 +12)

x_1.2= -1/2 ±√(1/4 +48/4)

x_1.2= -1/2 ±√49/4

x_1.2= -1/2 ± 7/2

x₁=3

x₂= -4

---------------------------------

x^2+5x +6=0

x_1.2= -5/2±√(25/4 -24/4)

x_1.2= -5/2±1/2

x₁= -2

x₂= -3

------------------------------

x^2-4x -32=0

x_1.2= 2±√(4+32)

x_1.2= 2± 6

x₁=8

x₂= -4

---------------------------

x^2+7x+10=0

x_1.2= -7/2±√(49/4 -40/4)

x_1.2= -7/2±3/2

x₁= -2

x₂=  -5

Answer 2

Du kannst die pq-Formel nicht anwenden? Das kann nicht sein.

Ganz simpel zur Anwendung der pq-Formel:

Die allgemeine Form ist \(x^2+px+q=0\). Nun betrachten wir \(x^2+-4x-32=0\). Was ist nun das \(p\) und \(q\)? Das sollte kein Problem sein! Hier ist \(p=-4\) und \(q=-32\), dann brauchst du nur noch die Lösungsformel:$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$ Und du ersetzt jedes \(p\) und \(q\) durch den Zahlenwert:$$x_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-32)}$$ Das musst du jetzt nur noch in den Taschenrechner eingeben und du erhältst die Lösung. Wenn dich das \(\pm\) verwirrt, das bedeutet, dass du einmal \(+\) und einmal \(-\) eingibst, dann hast du zwei Lösungen!

Answer 3

Aloha :)

Die Aufgaben kann man alle sehr schnell lösen. Du musst 2 Zahlen finden, deren Summe die Zahl vor dem x ist und deren Produkt die Zahl ohne x ist. Dazu deine erste Aufgabe als Beispiel:

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$Die Summe von 2 und 3 ist 5, das Produkt von 2 und 3 ist 6. Die Nullstellen sind dort, wo eine der Klammern Null wird, also bei \(x=-2\) und bei \(x=-3\). Die anderen Aufgaben kannst du auch sofort so hinschreiben:

$$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$$$x^2-4x-32=(x-8)(x+4)$$$$x^2+7x+10=(x+5)(x+2)$$$$x^2+3x-10=(x+5)(x-2)$$$$x^2-12x-45=(x-15)(x+3)$$$$x^2+8x-48=(x+12)(x-4)$$Die pq-Formel braucht man im Schulbetrieb eigentlich relativ selten, weil in Klausuren oder Hausaufgaben oft einfache Lösungen gesucht sind. Sie pq-Formel sollte daher immer erst genutzt werden, wenn du nicht schnell 2 passende Zahlen, wie in allen Aufgaben oben, findest.

Comments

Eine Herleitung zu Tschakas Methode (Satz von Vieta):

(x - a)(x - b) = 0                [Linearfaktorenschreibweise]
x^2 - bx - ax + ab = 0
x^2 - (a + b)x + ab = 0

Dann folgt durch Koeffizientenvergleich, dass p=-(a+b) und q=ab ausgehend von der reduzierten Normalform x^2+px+q=0