Populationsmatrix für Laubfrosch. Wie den Grenzvektor berechnen?

Question

Aufgabe:

Ich muss für eine Aufgabe den Fixvektor(Grenzvektor) berechnen:

M = $\begin{pmatrix} 0 & 22 & 11 \\ 0,03 & 0 &0 \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix}$ •$\begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix}$  = $\begin{pmatrix} A\\B\\C \end{pmatrix}$

Sprich:   lim (n gegen ∞)   Mⁿ * $\vec{a}$ = $\vec{f}$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Populationsmatrix.........

Stichworte: population,matrix

Info:

M = $\begin{pmatrix} 0 & 20 & 10 \\ 0,04 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix}$

Die Übergangsmatrix beschreibt die Population von Fröschen; also: Eier - Frösche 1 (geschlechtsreif; 2-4 J) - Frösche 2 (4-6J).

Aufgabe:

Was passiert, wenn sich durch günstige Umweltbedingungen die Geburtenrate pro Tier in beiden Altersgruppen um 10% erhöht, sich durch mehr Fressfeinde aber nur noch drei von 100 Eiern zu geschlechtsreifen Fröschen entwickeln?

Ansatz:

Neue Matrix M´ = $\begin{pmatrix} 0 & 22 & 11 \\ 0,03 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix}$

M´ⁿ • $\begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix}$ =>

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Stell doch mal die Aufgabe im Original(!) ein und zwar als Foto!

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BITTESCHÖN, Aufgabe D)

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Wenn du meinst deine Frage wurde noch nicht hinreichend gut beantwortet melde dich einfach wieder.

https://www.mathelounge.de/654941/grenzvektor-berechnen-wie

Answer 1

Aloha :)

Die Berechnungen sind von Hand etwas fummelig. Ich habe sie daher mit Excel durchgeführt und zeige hier nur die Ergebnisse. Die Eigenwerte der Matrix sind:

$$\lambda_1=-0,631412\quad;\quad\lambda_2=-0,285118\quad;\quad \lambda_3=0,91653$$Die zugehörigen Eigenvektoren sind:

$$\vec v_1=\left(\begin{array}{c}26,5787 \\ -1,26282 \\ 1\end{array}\right)\quad;\quad\vec v_2=\left(\begin{array}{c}5,41949 \\ -0,570236 \\ 1\end{array}\right)\quad;\quad\vec v_3=\left(\begin{array}{c}56,0018 \\ 1,83306 \\ 1\end{array}\right)$$Damit lässt sich die gegebene Matrix $M$ diagonalisieren:

$$M=SDS^{-1}\quad\text{wobei:}$$$$M:=\left(\begin{array}{c}0 & 22 & 11 \\ 0,03 & 0 & 0\\ 0 & 0,5 & 0\end{array}\right)$$$$S:=\left(\begin{array}{c}26,5787 & 5,41949 & 56,0018 \\-1,26282 & -0,570236 & 1,83306 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$$$$D:=\left(\begin{array}{c}-0,631412 & 0 & 0 \\ 0 & -0,285118 & 0 \\ 0 & 0 & 0,91653\end{array}\right)$$$$S^{-1}:=\left(\begin{array}{c}0,0279829 & -0,588957 & -0,487497\\ -0,036047 & 0,342589 & 1,39071\\0,00806417 & 0,246368 & 0,0967844\end{array}\right)$$Damit ist nun:$$M^n=\overbrace{SD\underbrace{S^{-1}\cdot S}_{=1}D\underbrace{S^{-1}\cdot S}_{=1}DS^{-1}\cdots SDS^{-1}}^{n\;Faktoren}=SD^nS^{-1}$$und weiter:

$$\vec f=M^n\left(\begin{array}{c}0\\100\\0\end{array}\right)=SD^nS^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\100\\0\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec f}=S\left(\begin{array}{c}(-0,631412)^n & 0 & 0 \\ 0 & (-0,285118)^n & 0 \\ 0 & 0 & 0,91653^n\end{array}\right)S^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\100\\0\end{array}\right)$$Für $n\to\infty$ geht die Matrix $D^n\to0$ in die Nullmatrix über. Daher ist $\vec f=\vec 0$.

Comments

Danjke für deine Antwort, die etwas kompliziert ausschaut: Die Lösung ist bei mir

Wenn man die Matrix hoch 200 mal den Anfagnsvektor dann erhalten (3,707*10hoch -5; 1,213*10 hoch -6; 6,62 *10 hoch -7)

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200 ist nicht das Gleiche wie unendlich. Warum sollte bei 200 Schluss sein?

Könntest du 3,707*10hoch -5 eigentlich ohne Verwendung von Zehnerpotenzen selbst als Zahl hinschreiben?

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200 ist noch recht weit weg von Unendlich ;) Wenn du dir mal deinen "Grenzwert" bei n=200 anschaust, kannst du an den Zehnerpotenzen schon erkennen, dass es in Richtung 0-Vektor geht.

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Ja, das kann ich aber wie kann es mit weniger aufwand mit taschenrechner lösen`?

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Letztlich kommt es nur auf das Verhalten der Matrix Dⁿ an. Und das kannst du schon an den Eigenwerten ablesen. Der Rest ist nur etwas Beiwerk fürs bessere Verständnis.

Answer 2

Mit den meisten Taschenrechnern ist das recht einfach.

Du kannst die Eigenwerte berechnen indem du folgende Gleichung löst

DET([0 - k, 22, 11; 0.03, 0 - k, 0; 0, 0.5, 0 - k]) = 0

- k³ + 0.66·k + 0.165 = 0

Fast jeder aktuelle Taschenrechner ist in der Lage kubische Gleichungen zu lösen.

Die Lösungen sind hier: k = -0.2851180253 ∨ k = 0.9165298026 ∨ k = -0.6314117772

Alle Eigenwerte sind hier vom Betrag kleiner als 1. Damit nimmt der Bestand immer weiter auf 0 ab.