Aloha :)
Die Berechnungen sind von Hand etwas fummelig. Ich habe sie daher mit Excel durchgeführt und zeige hier nur die Ergebnisse. Die Eigenwerte der Matrix sind:
$$\lambda_1=-0,631412\quad;\quad\lambda_2=-0,285118\quad;\quad \lambda_3=0,91653$$Die zugehörigen Eigenvektoren sind:
$$\vec v_1=\left(\begin{array}{c}26,5787 \\ -1,26282 \\ 1\end{array}\right)\quad;\quad\vec v_2=\left(\begin{array}{c}5,41949 \\ -0,570236 \\ 1\end{array}\right)\quad;\quad\vec v_3=\left(\begin{array}{c}56,0018 \\ 1,83306 \\ 1\end{array}\right)$$Damit lässt sich die gegebene Matrix \(M\) diagonalisieren:
$$M=SDS^{-1}\quad\text{wobei:}$$$$M:=\left(\begin{array}{c}0 & 22 & 11 \\ 0,03 & 0 & 0\\ 0 & 0,5 & 0\end{array}\right)$$$$S:=\left(\begin{array}{c}26,5787 & 5,41949 & 56,0018 \\-1,26282 & -0,570236 & 1,83306 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$$$$D:=\left(\begin{array}{c}-0,631412 & 0 & 0 \\ 0 & -0,285118 & 0 \\ 0 & 0 & 0,91653\end{array}\right)$$$$S^{-1}:=\left(\begin{array}{c}0,0279829 & -0,588957 & -0,487497\\ -0,036047 & 0,342589 & 1,39071\\0,00806417 & 0,246368 & 0,0967844\end{array}\right)$$Damit ist nun:$$M^n=\overbrace{SD\underbrace{S^{-1}\cdot S}_{=1}D\underbrace{S^{-1}\cdot S}_{=1}DS^{-1}\cdots SDS^{-1}}^{n\;Faktoren}=SD^nS^{-1}$$und weiter:
$$\vec f=M^n\left(\begin{array}{c}0\\100\\0\end{array}\right)=SD^nS^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\100\\0\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec f}=S\left(\begin{array}{c}(-0,631412)^n & 0 & 0 \\ 0 & (-0,285118)^n & 0 \\ 0 & 0 & 0,91653^n\end{array}\right)S^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\100\\0\end{array}\right)$$Für \(n\to\infty\) geht die Matrix \(D^n\to0\) in die Nullmatrix über. Daher ist \(\vec f=\vec 0\).
