Kreis und Parabel 1 Hauptlage

Question

Aufgabe:

Gegeben sind ein Kreis k mit Mittelpunkt M(-1/0) und Radius r=5 cm

und eine Parabel in 1Hauptlage,die den Punkt R(8/-8) enthält.

Problem/Ansatz:

(1) Geben Sie die Gleichung des Kreisen und die Gleichung der Parabel an.

Ermitteln den Schnittwinkel der beiden Kegelschnitte.

(2) Die Fläche zwischen Kreis und Parabel rotiert um die x-Achse.

Berechnen das Volumen des entstehenden Rotationskörper.

Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe

Answer 1

Gegeben sind ein Kreis k mit Mittelpunkt M(-1/0) und Radius r=5 cm

(x-1)^2 + y^2 = 25

und eine Parabel in 1Hauptlage,die den Punkt R(8/-8) enthält.

y^2 = 2px mit R gibt das  64 = 2p*8 ==>  p=4 also   y^2 = 8x

Schnitt gibt  (x-1)^2 + 8x = 25  also x=2 , da x=-12

keine echte Lösung ist.

==> Schnittpunkte sind A(2;4) und B(2;-4).

Schnittwinkel bei A:

Kreis gehört zu  f(x) = √(25-(x+1)^2 )  also f ' (x) = (-x-1) /  √(25-(x+1)^2)

==>   f ' (2) = -3/4 ==>  Winkel zur Waagerechten -36,9°

Parabel zu g(x) = √(8x)    g ' (x) = 8 / 2*√(8x)  also g ' (2) = 1

Winkel zur Waagerechten  45°   , also Schnittwinkel  81,9°.

~plot~ sqrt(8x); -sqrt(8x); sqrt(25-(x+1)^2);- sqrt(25-(x+1)^2);[[-8|8|-6|6]] ~plot~

Für den Rotationskörper berechne

$$π * \int_{0}^{2} 8xdx  + π * \int_{2}^{2} (25-(x+1)^2 ) dx $$

Answer 2

Kreis: (x+1)²+y²=25  

Parabel (vermutlich) -1/8·x²

Die Fläche zwischen Kreis und Parabel

Stellen der Schnittpunkte x₁ ≈ -4.951077213 x₂ ≈ 3.698537185.