Den Inhalt der markierten Fläche mithilfe von Stammfunktionen berechnen

Question

ich soll mithilfe von Stammfunktionen den Inhalt der markierten Fläche berechnen.

Aus dem Bild,kann man die Grenzen 0 und 2 herauslesen und die Fuktionsgleichung lautet : f(x) = x - e^x  . Ich habe jetzt als Ergebnis - 4,39 raus und die richtige Lösung wäre 4,39.Wie  bekomme ich jetzt das Minus da raus? Und hat das damit zu tun,weil die Fläche unterhalb der x-Achse ist?

Answer 1

Du möchtest eine Fläche berechnen, die im vierten Quadranten liegt, also unterhalb der \(x\)-Achse. Ihr habt den Integralbegriff bestimmt über Unter- und Obersumme eingeführt, also mit der Vorstellung, dass man unendlich viele Rechtecke mit infinitesimal (sehr sehr sehr kleinem) Abstand unter den Graphen legt und diese berechnet.

Hier mal eine Skizze:

https://www.desmos.com/calculator/658dwbpoll

Du siehst, dass du eine Fläche unterhalb der x-Achse berechnen möchtest, die Rechtecke haben dann eine negative Höhe und somit auch einen negativen Flächeninhalt. Um das ganze wieder zu beheben, da du ja nicht den Integralwert, sondern den Flächeninhalt berechnen willst, setze einfach Betragsstriche -  also:$$\left |\int_{0}^{2}f(x)\, dx \right |≈ 4.3891$$

Answer 2

Wenn die Fläche vollständig unterhalb der x-Achse liegt, ist das Integral negativ. Du hast also richtig gerechnet und musst nur den Betrag bilden. Das bedeutet, dass das Minuszeichen wegfällt.

Flächeninhalt = |Integral|

Wenn die Kurve zum Teil oberhalb und unterhalb der x-Achse verläuft, ist es etwas anders, aber das ist hier ja nicht der Fall.

www.desmos.com/calculator/2yoxyytvis

https://www.desmos.com/calculator/2yoxyytvis