Abstand zweier Geraden mit Ebene

Question

Aufgabe:$$h: \space x = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ -1\end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix}1+2k\\ -1-k\\ 2k\end{pmatrix} \quad k, t \in \mathbb{R}$$ $$F: \space 2x + \colorbox{#ffff00}{2}y -z = 7$$ $$ g: \space x = \begin{pmatrix} 3\\ -3\\ 2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 2\end{pmatrix} $$

Zeigen Sie, dass all diese Geraden von \(h\) in der Ebene \(F\) liegen und denselben Abstand von der Gerade \(g\) haben.

Problem/Ansatz:

… Habe bereits h in F eingesetzt und habe raus bekomme 0 = 0 also h liegt in F, aber wie beweise ich jetzt das h in Abhängigkeit von k immer den selben Abstand zu g hat.

Bem.: wahrscheinlich fehlte die oben markierte \(\colorbox{#ffff00}{2}\)

Answer 1

Zeige, dass g parallel zur Ebene F liegt.

Comments

Ich denke das langt nicht.

Ich würde noch zeigen das g und h immer windschief und nie parallel liegen.

Answer 2

Sind die Gerade h und die Ebene F beide richtig notiert worden.

Ich erhalte nicht das der Richtungsvektor der Geraden immer Senkrecht zum Normelenvektor der Ebene liegt.

[2, 1, -1]·[1 + 2·k, -1 - k, 2·k] = k + 1

Damit liegt h nicht immer in F.

Comments

 x = (2|1|-1)+ t * (1+2k|-1-k|2k)

lässt sich schreiben als x = (2|1|-1)+ t * (1|-1|0) +t *k (2|-1|2)

Damit sollten alle Geraden h in einer Ebene liegen, die den Ortsvektor  (2|1|-1) und die Spannvektoren (1|-1|0) und (2|-1|2) besitzt.

Ein Normalenvektor der Ebene ist dann (-2|-2|1). Dessen Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g ist 0.

Übrigens war letzteres nicht nötig. Ich hatte oben  (2|-1|2) als einen der beiden Spannvektoren der Ebene genannt. Das ist zugleich auch der Richtungsvektor von g. Wenn g parallel zu einem Spannvektor der Ebene verläuft, ist g auch parallel zur Ebene selbst.

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Ja. Hat F denn diese Spannvektoren

F: 2·x + y - z = 7

Ich denke nicht. Oder ich verrechne mich gerade.