Flächeninhalt zwischen den Funktionen f(x) = x^2; g(x) = 2 - x^2 berechnen.

Question

Aufgabe:

f(x) = x^2, g(x) = 2-x^2

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die Fläche zwischen diesen Graphen berechnen, wenn kein Intervall gegeben ist?

Comments

An den Überschriften arbeiten wir noch...

Answer 1

Differenzfunktion und schnittstellen

d(x) = f(x) - g(x) = x^2 - (2 - x^2) = 2·x^2 - 2 = 0 --> x = ±1

Stammfunktion

D(x) = 2/3·x^3 - 2·x

Integral

∫ (-1 bis 1) d(x) dx = D(1) - D(-1) = - 4/3 - 4/3 = - 8/3

Die Graphen schließen eine Fläche von 8/3 ein.

Answer 2

Du berechnest dir das Intervall einfach selbst. Du möchtest die Fläche dazwischen? Du brauchst also diejenigen Stellen, wo sich die Graphen schneiden.

Setze also \(f(x)=g(x) :\Leftrightarrow x^2=2-x^2 \Leftrightarrow x^2=1\) also \(x_1=1\) oder \(x_2=-1\).

Dann integrierst du die Differenzfunktion \(d(x):=g(x)-f(x)\)

Answer 3

Aloha :)

Die Differenzfunktion lautet \(d(x)=f(x)-g(x)=x^2-(2-x^2)=2x^2-2=2(x+1)(x-1)\) und hat die Nullstellen \(-1\) und \(1\). Daher beträgt die Fläche, die von \(f\) und \(g\) eingeschlossen wird

$$F=\left|\int\limits_{-1}^1(2x^2-2)\,dx\right|=\left|\left[\frac{2x^3}{3}-2x\right]_{-1}^1\right|=\left|\frac{2}{3}-2-\left(-\frac{2}{3}+2\right)\right|=\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$$