2 Kostenfunktionen, kostenminimierende Allokation finden

Question

gegeben ist, dass es zwei Produktionsstätten gibt, welche zusammen mindestens 10 Stück einer Ware produzieren müssen. Dann sind die zwei Kostenfunktionen f₁(x) = 1/2x² und f₂ (x)= x gegeben. Aufgabe ist es, einen Produktionsplan zu finden, sodass die Produktionskosten f₁ (x1) und f₂ (x2) minmiert werden.

Ich kenn solche Beispiele eigentlich nur mit einer gegebenen Isoquante und Isokostenfunktion, wo ich dann die ersten Ableitungen gleichsetzen und so den Tangentialpunkt und damit die Minimalkostenkombination finden kann. Hier geht das ganz offensichtlich nicht und ich komme nicht weiter.

Vielen Dank!

Answer 1

a + b ≥ 10 --> b ≥ 10 - a bzw. b = 10 + k - a

K = f1(a) + f2(b) soll minimal sein

K = 0.5·a^2 + b

K = 0.5·a^2 + 10 + k - a

K' = a - 1 = 0 → a = 1

b = 10 + k - 1 = 9 + k