Aloha :)
Für das Zerfallsgesetz \(M=M_0e^{\alpha\cdot t}\) entnehmen wir der Aufgabensellung \(M_0=500\,g\) und ermitteln die Zerfallskonstante \(\alpha\) aus der Angabe, dass sich die Masse pro Tag um 5% verringert:$$0,95=e^{\alpha\cdot1}\;\;\Leftrightarrow\;\;\alpha=\ln(0,95)$$Daher lautet das Zerfallsgesetz hier:$$M(t)=M_0\,e^{\ln(0,95)\,t}\quad;\quad t\text{ in Tagen}\quad;\quad M_0=500\,g$$
zu a) Bei der Halbwertszeit \(T_{1/2}\) hat sich die Masse exakt halbiert, daher gilt:$$\left.\frac{1}{2}M_0=M_0\,e^{\ln(0,95)\,T_{1/2}}\quad\right|\;:M_0$$$$\left.\frac{1}{2}=e^{\ln(0,95)\,T_{1/2}}\quad\right|\;:\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(0,95)\,T_{1/2}\quad\right|\;:\ln(0,95)$$$$T_{1/2}=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(0,95)}\approx13,5134\,\text{(Tage)}$$
zu b) Nach der Zeit \(T_{1/500}\) soll nur noch \(1\,g\) der ursprünglichen Masse übrig sein, das heißt:
$$\left.1=500\,e^{\ln(0,95)\,T_{1/500}}\quad\right|\;:500$$$$\left.\frac{1}{500}=e^{\ln(0,95)\,T_{1/500}}\quad\right|\;:\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\frac{1}{500}\right)=\ln(0,95)\,T_{1/500}\quad\right|\;:\ln(0,95)$$$$T_{1/500}=\frac{\ln\left(\frac{1}{500}\right)}{\ln(0,95)}\approx121,1583\,\text{(Tage)}$$
