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Beweis für die Stetigkeit der Summe zweier Funktionen
Zuerst zeigen wir, dass wenn \(f\) und \(g\) stetig in \(x_0\) sind, dann ist auch \(f + g\) stetig in \(x_0\).
Die Stetigkeit von \(f\) und \(g\) in \(x_0\) bedeutet, dass für jede gegen \(x_0\) konvergierende Folge \((x_n)\), die Folgen \(f(x_n)\) gegen \(f(x_0)\) und \(g(x_n)\) gegen \(g(x_0)\) konvergieren. Also:
\(f(x_n) \to f(x_0) \quad\text{und}\quad g(x_n) \to g(x_0) \text{ wenn } n \to \infty.\)
Betrachten wir nun die Summe \(f + g\). Für die Folge \((x_n)\), die gegen \(x_0\) konvergiert, betrachten wir die Summe \((f + g)(x_n) = f(x_n) + g(x_n)\). Aufgrund der Eigenschaften von Grenzwerten gilt:
\(f(x_n) + g(x_n) \to f(x_0) + g(x_0) \text{ wenn } n \to \infty.\)
Dies zeigt, dass \((f + g)(x_n) \to (f + g)(x_0)\), was bedeutet, dass \(f + g\) in \(x_0\) stetig ist.
Beweis für die Stetigkeit des Produkts zweier Funktionen
Jetzt beweisen wir, dass wenn \(f\) und \(g\) stetig in \(x_0\) sind, dann ist auch \(f \cdot g\) stetig in \(x_0\).
Angenommen, \(f(x_n) \to f(x_0)\) und \(g(x_n) \to g(x_0)\) für eine beliebige gegen \(x_0\) konvergierende Folge \((x_n)\). Dann gilt aufgrund der Grenzwerteigenschaften:
\(f(x_n) \cdot g(x_n) \to f(x_0) \cdot g(x_0) \text{ wenn } n \to \infty.\)
Das zeigt, dass \((f \cdot g)(x_n) \to (f \cdot g)(x_0)\), was bedeutet, dass \(f \cdot g\) in \(x_0\) stetig ist.
Zusammenfassung
Es ist also ausreichend, die Stetigkeit von \(f\) und \(g\) in Form von Grenzwerten der Folgen zu zeigen. Für einen vollständigen Beweis der Stetigkeit unter Nutzung von \(\epsilon\) und \(\delta\) müsste man zeigen, dass für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass wenn \(|x - x_0| < \delta\), dann \(|(f + g)(x) - (f + g)(x_0)| < \epsilon\) bzw. \(|(f \cdot g)(x) - (f \cdot g)(x_0)| < \epsilon\). Jedoch ist der hier geführte Argumentationsstrang, der auf der Eigenschaft von Grenzwerten basiert, vollkommen ausreichend, um die Stetigkeit von \(f+g\) und \(f\cdot g\) zu beweisen.
