Von V(x) = (16x-2x^{2})*(10-2x) zu V(x) = 10*(16x-2x^{2}) - 2x*(16x-2x^{2}). Kommentar Frage

Question

"Maximales Volumen ermitteln für eine nach oben offene Schachtel?"

In Bezug auf @Julian Mi's Antwort hätte ich eine Frage.

Sein Kommentar:

"Die Grundfläche hat also die Maße (16-2x)*(10-2x)

Die Höhe entspricht der Breite der "Seitenlappen", die hochgeklappt werden, ist also x.

Damit lautet die Formel für das Volumen:

V(x) = x*(16-2x)*(10-2x)

V(x) = (16x-2x²)*(10-2x)

V(x) = 10*(16x-2x²) - 2x*(16x-2x²)

V(x) = 160x - 20x² - 32x²+4x³

V(x) = 4x³-52x²+160x"

WIe hat er das dick markierte gemacht? Er hat die 10 von der zweiten Klammer auf die linke Seite gebracht und dann es vor die erste Klammer geschrieben. Dann jedoch hat er 2x*(16x-2x²) geschrieben. Müsste da nicht nur -2x übrig bleiben. Also das was er von Schritt 2 nach 3 gemacht hat, macht in meinen Augen gar keinen Sinn.

Könnte mir das jemand erklären oder ggf. auch mit einfacheren Schritten erklären?

Answer 1

Das ist das Distributivgesetz.

a·(b ± c) = a·b ± a·c

https://de.wikipedia.org/wiki/Distributivgesetz

(16·x - 2·x^2)·(10 - 2·x)

= (16·x - 2·x^2)·10 - (16·x - 2·x^2)·2·x

= 10·(16·x - 2·x^2) - 2·x·(16·x - 2·x^2)

Answer 2

Aloha :)

Die zweite Klammer wurde ausmultipliziert \(a\cdot(b-c)=ab-ac\):

$$V(x) =\underbrace{ (16x-2x^2)}_{a}\cdot(\underbrace{10}_{b}-\underbrace{2x}_{c})=\underbrace{ (16x-2x^2)}_{a}\cdot\underbrace{10}_{b}-\underbrace{ (16x-2x^2)}_{a}\cdot\underbrace{2x}_{c}$$

Answer 3

V(x) = (16x-2x^2) * (10-2x)

Jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied
der anderen Klammer multiplizieren.

Answer 4

Vorweg: 12 * 8 = 96. Bitte mit dem Taschenrechner prüfen.

Nun:

12 * 8 = 12 * ( 10 - 2)   | Distributivgesetz

= 12 * 10 - 12 * 2 = 120 - 24 = 96

Noch etwas ausführlicher (komplizierter) gerechnet:

12 * 8 = 12 * ( 10 - 2)  | Distributivgesetz

= 12 * 10 - 12 * 2   | Kommutativgesetz der Multiplikation

= 10 * 12 - 2 * 12

= 120 - 24 = 96

Bei der Umformung von

V(x) = (16x-2x^{2})*(10-2x)

zu

V(x) = 10*(16x-2x^{2}) - 2x*(16x-2x^{2})

wurde der Schritt zwischen den beiden fett gedruckten Zeilen im Zahlenbeispiel weggelassen.

Bezieht sich auf eine Umformung hier: https://www.mathelounge.de/3207/maximales-volumen-ermitteln-eine-nach-oben-offene-schachtel Bitte jeweils bei den ursprünglichen Antworten nachfragen.