Aloha :)
Gemäß der Summenformel für die geometrische Reihe gilt: \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\) für \(|q|<1\). Setzen wir speziell \(q=-x\), so gilt:$$\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n=\frac{1}{1+x}\quad;\quad |x|<1$$Solange man sich innerhalb des Konvergenzradius einer unendlichen Summe bewegt, darf man die Ableitung unter die Summe ziehen, daher gilt für die Ableitung:
$$\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}(-x)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}-n(-x)^{n-1}$$$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{1}{(1+x)^2}$$$$\Rightarrow\quad\left.\sum\limits_{n=1}^{\infty}-n(-x)^{n-1}=-\frac{1}{(1+x)^2}\quad\right|\;\cdot x$$$$\phantom{\Rightarrow}\quad\left.\sum\limits_{n=0}^{\infty}n(-x)^n=-\frac{x}{(1+x)^2}\quad\right.$$Damit sind wir fertig:
$$\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(n-2)x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(n-2)(-x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\left[n(-x)^n-2(-x)^n\right]$$Da wir oben die Grenzwerte beider Teilsummen bestimmt haben, diese also existieren, gilt weiter:
$$=\sum\limits_{n=0}^\infty n(-x)^n-2\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n=-\frac{x}{(1+x)^2}-\frac{2}{1+x}=-\frac{3x+2}{(1+x)^2}$$
