x für konvergente Reihe ermitteln

Question

Aufgabe:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \sqrt{n}}{3^{n}}(x+3)^{n} $$

X Werte ermitteln zu denen diese Reihe konvergiert
Problem/Ansatz:

Versuch über ratio test,

$$ \frac { 3 ^ { n } ( x + 3 ) ^ { n + 1 } ( (n + 1) \sqrt { n + 1 } ) } { 3 ^ { n + 1 } ( x + 3 ) ^ { n } ( n \sqrt { n } ) } $$

Answer 1

Hallo

 beim Quotienten Kriterium   geht es nur um die Koeffizienten  von (x-x_0)^n

 schreib das hin, kürze die 3 er Potenzen und dividier Zähler und Nenner durch n*√n dann findest du den Konvergenzradius für x-3 und daraus den für x.

Gruß lul

Comments

"dividier Zähler und Nenner durch n*√n" da scheitert es auch schon, weiß da keine Regel das zu kürzen

Answer 2

nimm lieber das Kriterium von Cauchy-Hadamard ( also das inverse Wurzelkriterium). Damit wird es einfacher.

Answer 3

Für den Konvergenzradius betrachtest du nur die

Koeffizienten ( ohne die (x+3) - Terme) und

bestimmst ( falls möglich) den Grenzwert  a_n / a_n+1

$$ \frac { ( n \sqrt { n } ) 3 ^ { n+1 } } { 3 ^ { n  }  (n + 1) \sqrt { n + 1 } } $$

$$ = \frac {  ( n \sqrt { n } ) *3  } { (n + 1) \sqrt { n + 1 }  } $$

Das hat den Grenzwert 3, also Konvergenzradius = 3

Konvergenzintervall mindestens ]-6 ; 0 [

Musst noch die Randpunkte prüfen:

Für x=-6 wird (-3)^n / 3^n zu (-1)^n

und n√n geht gegen unendlich, da konvergiert es

also nicht.

Für x=0 entsprechend auch nicht.

Comments

$$ \frac{(n \sqrt{n}) * 3}{(n+1) \sqrt{n+1}} $$

gilt daraus Grenzwert 3 weil es (3(unendlich))/(unendlich) ist?

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Hallo

 nein, weil du es mit dem Teilen durch n*√n zu 3/[(1+1/n)*√(1+1/n)]

 umformen kannst.

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wieso ist das legitim, verändert man dadurch nicht die eigentliche Gleichung?

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und wie kommt man vom Grenzwert auf das Intervall?

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Hallo

du kürzt doch nur, damit veränderst du nicht mehr als bei 2/8=1/4

due weisst jetzt |x-3|<3 das gibt das Intervall, die Randpunkte 6 und 0 Mus man einzeln untersuchen.

Gruß lul