Abbildungen surjektiv und injektiv

Question

Aufgabe:

Sei M eine endliche Menge und f: M→M eine Abbildung. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

I)f ist injektiv

II)f ist surjektiv

Hinweis: Argumentieren Sie mit der Anzahl der Elemente von M.

Problem/Ansatz:

Verstehe einfach nicht den ersten Schritt bei f: M→M. Kenne bisher nur f:M→N.

Answer 1

Kenne bisher nur f:M→N.

Dabei kann es sein, dass M = N ist.

Beispiel: f: ℝ → ℝ, x ↦ x². Diese Abbildung ist dir sicher schon mal in der Schule begegnet, auch wenn da wahrscheinlich nur die Funktionsgleichung

        f(x) = x²

angegeben wurde.

Comments

Das hat mir jetzt irgendwie nicht ganz weitergeholfen.

Answer 2

Aloha :)

Voraussetzung: \(f:M\to M\) ist eine Abbildung, \(M\) eine endliche Menge mit \(n\) Elementen.

"\(\Rightarrow\)" Wir zeigen zuerst die Hinrichtung, sei also \(f\) injektiv. Injektiv bedeutet, dass jedes der \(n\) Elemente der Wertemenge höchstens 1-mal als Funktionswert vorkommt. Da aber jedes der \(n\) Elemente der Definitionsmenge auf irgendein Element der Wertemenge abgebildet wird und die Abbildung eindeutig sein muss (sonst wäre es keine Funktion), muss jedes Element der Wertemenge auch mindestens 1-mal als Funktionswert vorkommen. Daher ist die Funktion \(f\) dann auch surjektiv.

"\(\Leftarrow\)" Nun die Rückrichtung, sei also \(f\) surjektiv. Surjektiv bedeutet, dass jedes der \(n\) Elemente der Wertemenge mindestens 1-mal als Funktionswert vorkommt. Da aber jedes der \(n\) Elemente der Definitionsmenge auf irgendein Element der Wertemenge abgebildet wird und die Abbildung eindeutig sein muss, kommt jedes Element der Wertemenge auch mindestens 1-mal als Funktionswert vor. Daher ist \(f\) dann auch injektiv.