Konvergente Reihen und Grenzwerte

Question

heute benötige ich Hilfe bei der Ermittlung des Grenzwertes der Folge

∑_{n=1 bis ∞}  =  \( \frac{1}{(2n)!} \)

Ich kenne die Grenzwerte der Reihen

∑_{n=0 bis ∞}  =  \( \frac{(-1)^n}{n!} \) = e^-1

∑_{n=0 bis ∞}  =  \( \frac{1}{n!} \) = e

Den gesuchten Grenzwert habe ich bereits abgeschätzt, dieser müsste rund 0,5431 sein, aber das ist noch kein richtiger Beweis.

Nun frage ich mich, wie ich durch die gegebenen Reihen und Grenzwerte auf den gesuchten komme.

Meine erste Überlegung war die 2 im Nenner rauszuholen, und dann ggf. mal 1/2 zu rechnen, aber ich kann die 2 nicht einfach aus der Klammer mit der Fakultät rausholen. (2n)! = 2n*(2n-1)! sieht mir aber noch komplizierter aus als (2n)!.

  

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Das die Reihe konvergiert steht fest, das habe ich oben vergessen zu erwähnen.

0 ist aber leider nicht der gesuchte Grenzwert der Reihe.

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Addiere deine beiden letzten Reihen.

Answer 1

Hi, es gilt $$ e + e^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-1)^n}{n!}  $$ Da die letzte Summe für ungerade Zahlen \( n \) im Zähler \( 0 \) ergibt, tragen nur gerade Zahlen \( n \) zum Ergebnis bei, also kann man schreiben $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-1)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(2n)!}  $$ Also folgt $$  \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n)!} = \frac{e + e^{-1}}{2} = \cosh(1) $$

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Dankesehr! Das ergibt Sinn.