Falsche Aussagen, finde 1 Gegenbeispiel

Question

Hey.. (:


Die Aufgabe lautet:

Begründen Sie warum die folgenden Aussagen über reelle Zahlen x,y,z falsch sind:


x ≤ y ∧ y < z  ⇔ x < z


Und da man die Äquivalenz ja in eine Implikation zerlegen kann, habe ich das folgendermaßen umgeformt:


(x ≤ y ∧ y < z  → x < z) ∧ (x < z → x ≤ y ∧ y < z)


Ist das soweit richtig?

Ich finde leider kein Gegenbeispiel :(

Answer 1

x ≤ y ∧ y < z  ⇔ x < z

Die Richtung "=>" ist korrekt.

Die Richtung "<=" jedoch nicht, denn es gilt:

( x < z ) => ( x ≤ y ∧ y < z  ) oder ( x < y ∧ y ≤ z  )

Und daraus kann man nun ein Gegenbeispiel für die Richtung "<=" konstruieren, etwa:

x = 3 , y = 4 , z = 4

Bei diesem Beispiel gilt zwar x < z , nicht aber x ≤ y ∧ y < z , denn es ist y = z .

Comments

Zitat: "

Die Richtung "<=" jedoch nicht, denn es gilt:

( x < z ) => ( x ≤ y ∧ y < z  ) oder ( x < y ∧ y ≤ z  ) "

Das stimmt auch nicht. Man kann aus der Aussage x<z überhaupt keine Aussage über y treffen. Beispiel: x=1, z=2, y=3. Da gilt x<z, aber nicht (( x ≤ y ∧ y < z  ) oder ( x < y ∧ y ≤ z  )).

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Du hast natürlich recht.

Ich war, warum auch immer, einfach davon ausgegangen, dass y zwischen x und z liegen soll, aber allein aus x < z folgt das natürlich nicht.

Mein Gegenbeispiel gilt aber dennoch.