Kartesisches Produkt

Question

Aufgabe:

Meine Aufgabe ist es (M x N) ^c =M^c x N^c) U (M^c x N) U (M x n^c) zu beweisen

Problem/Ansatz:

Die linke Seite habe ich schon aufgelöst nur bei der rechten komme ich überhaupt nixjt weiter weiß da jemand was?

Comments

Was heisst "aufgelöst" du musst für jeden Teil die Elemente hinschreiben, dann die Vereinigung. und das links und rechts.

Gruß lul

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Ja das meinte ich wusste nur nicht wie man das schreibt. Habe dann das es zu X\M x Y\N U X\M x N U M x Y\N äquivalent ist, bin mir da aber nicht sicher

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das versteh ich überhaupt nicht, was soll das X da sein

z.B, für alle Ellemente (i,k) in (M^c x N^c) gilt i in M^c,  k in  M^c  usw.

Gruß lul

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Gegeben seien Mengen X und Y mit Teilmengen M ⊂ X und N ⊂ Y . Das kartesische
Produkt M × N fassen wir als Teilmenge der Grundmenge X × Y auf. Zeigen Sie, dass im
allgemeinen

hatte ich vergessen sry

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Und M^c ist ja äquivalent zu X\M

Answer 1

Gleichheit A=B zweier Mengen A und B beweist man indem man zeigt

A ⊆ B und B ⊆ A

A ⊆ B zeigt man indem man zeigt, dass jedes Element von A auch Element von B ist.

(M x N)^c = (M^c x N^c) U (M^c x N) U (M x N^c)

Zu (M x N)^c ⊆ (M^c x N^c) U (M^c x N) U (M x N^c):

Sei a ∈ (M x N)^c. Seien x ∈ X, y ∈ Y, so dass a = (x,y) ist.

Ist x ∈ M und y ∈ N, dann ist a ∈ M×N. Das ist ein Widerspruch zu a ∈ (M x N)^c. Also ist x ∉ M oder y ∉ N. Demanch ist x ∈ M^c oder y ∈ M^c.

Ist x ∈ M^c und y ∈ N^c, dann ist (x,y) ∈ M^c x N^c.

Ist x ∈ M^c und y ∉ N^c, dann ist x ∈ M^c und y ∈ N und somit (x,y) ∈ M^c x N.

Ist x ∉ M^c und y ∈ N^c, dann ist x ∈ M und y ∈ N^c und somit (x,y) ∈ M x N^c.

Also ist (x,y) ∈ (M^c x N^c) U (M^c x N) U (M x N^c).

Zu (M^c x N^c) U (M^c x N) U (M x N^c) ⊆ (M x N)^c: Selbst machen!