Bedingte Wahrscheinlichkeit?

Question

Aufgabe:

Es sei Ω eine Ergebnismenge, P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω und A,B,C Ereignisse mit P(A^c) = 0.75, P(B^c) = 0.65, P(C) = 0.5, P(A^c ∩ B) = 0.25, P(B^c ∪ C^c) = 0.8 und P(A∩C) = 0. Berechnen Sie P(A\B), P(A^c ∩ B ∩ C^c) sowie P(A ∪ B ∪ C).

Problem:

Muss ich die Wahrscheinlichkeiten mithilfe von bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, da beispielsweise bei P(A∩C) = 0 und 0,25 * 0,5 nicht gleich 0 ergibt?

Mit freundlichen Grüßen

Marie

Comments

P(A ∩ B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A ∩ C

P(Ac ∩ B ∩ Cc)
= (Ac ∩ B) ∩ (Ac ∩ Cc)
= 0,25 ∩ 1 ?

Ich komm einfach nicht drauf, wie ich es lösen könnte

Answer 1

Muss ich die Wahrscheinlichkeiten mithilfe von bedingten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen,

Nein. Du musst dich an die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung halten. Die Aufgabe kann man lösen ohne das Konzept von bedingter Wahrscheinlichkeit jemals angetroffen zu haben.

da beispielsweise bei P(A∩C) = 0 und 0,25 * 0,5 nicht gleich 0 ergibt?

Das heißt A und C sind nicht stochastisch unabhängig. Das ist eine nette Erkenntniss, hilft bei der Lösung der Aufgabenstellung aber nicht.

Comments

Ich weiß, dass P(A\B) =  P(A) – P(A ∩ B). Aber wie komme ich von (A^c ∩ B) = 0.25 auf P(A ∩ B)?

Marie

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wie komme ich von (A^c ∩ B) = 0.25 auf P(A ∩ B)

Es gilt

        P(A ∩ B) + P(A^c ∩ B) = P(B),

weil A ∩ B und A^c ∩ B disjunkt sind und

        (A ∩ B) ∪ (A^c ∩ B) = B

ist.

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!

Eine Frage hätte ich noch: Wenn P(A∩C) = 0, ist dann P(A ∩ B ∩ C) auch 0?

Wenn A und C keine gemeinsamen Elemente haben, ist es ja ausgeschlossen, dass alle 3 gemeinsame Elemente haben, oder?

Marie

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Wenn P(A∩C) = 0, ist dann P(A ∩ B ∩ C) auch 0?

Ja. Die Menge der Ergebnisse kann ja nicht größer werden, wenn ich noch zusätzlich alle Elemente rauswerfe, die nicht in B sind. Also kann auch durch den zusätzlichen Schnitt die Wahrscheinlichkeit nicht größer werden.

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P(A ∩ B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A ∩ C

P(Ac ∩ B ∩ Cc)
= (Ac ∩ B) ∩ (Ac ∩ Cc)
= 0,25 ∩ 1 ?


Ich komm einfach nicht drauf, wie ich es lösen könnte!

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Schreib doch mal auf, welche Wahrscheinlichkeiten du schon berechnet hast.

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• P(A^c) = 0.75, P(A) = 0.25
• P(B^c) = 0.65, P(B) = 0.35
• P(C) = 0.5, P(C^c) = 0.5
• P(A^c ∩ B) = 0.25
• P(B^c ∪ C^c) = 0.8
• P(A∩C) = 0

+

P(A ∪ B ∪ C) = 0,8

B ∩ C = 0,2

P(A ∩ B) = 0,15

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P(A ∩ B ∩ C) = 0 hattest du noch ausgerechnet.

P(A ∩ B) = P(B) - P(A^c ∩ B) = 0,35 - 0,25 = 0,1

P(A\B) = P(A) - P(B) + P(A^c ∩ B)

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P(A^c ∩ B ∩ C^c) = P(B\A) + P(B\C) + P(A ∩ B ∩ C) ?

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P(Ac ∩ B ∩ Cc) = P(B\A) + P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

P(B\A)
= P(B) – P(A ∩ B)
= 0,35 – 0,1 = 0,25

P(B ∩ C) = P(Bc ∪ Cc)c = 0,2

P(Ac ∩ B ∩ Cc) = 0,25 + 0,2 + 0 = 0,45