Lösungen von Gleichungen in C

Question

 ich bräuchte mal wieder etwas Hilfe.

Ich habe foglende Aufgabe vorliegen:

z² + iz + 3/4 + i = 0

Wie löse ich das ganze nun?

Ich habe 2 Lösungsansätze probiert:

1. Mit der p - q - Formel:

Ich setze p = i  und 3/4 + i = q ein in die Formel ein und da kommt folgendes raus:

- i / 2 ± √ -1 - i

Ich kann keinen Rechenfehler finden ... oder ist was anderes falsch?

2. Mit der Polarkoordinatendarstellung:

Ich habe für z = x + iy eingesetzt. Die letzte Zeile die ich hier stehen hab ist:

x² + 2 x iy + ix - 2y + i + 3/4 = 0

Wie würde es hier weitergehen?

Theoretisch kann man doch mit beiden Ansätzen auf die Lösungen kommen oder?

LG, sr50

Answer 1

$$z_{1;2}=-\frac12i\pm\sqrt{-1-i}$$$$-1-i = \left(\frac12\sqrt{-2+2\sqrt{2}}-i\frac12\sqrt{2+2\sqrt{2}}\right)^2$$$$z_1= \frac12\sqrt{-2+2\sqrt{2}}-i\frac12\left(1+\sqrt{2+2\sqrt{2}}\right)$$$$z_2=-\frac12\sqrt{-2+2\sqrt{2}}-i\frac12\left(1-\sqrt{2+2\sqrt{2}}\right)$$

Comments

Wie kommst du vom 1. auf den 2. Schritt? Eine Erklärung wären gut

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-1 - i = √2·(cos(5π/4) + i·sin(5π/4)).
Jetzt Wurzeln berechnen und in Normalform überführen.

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Achso einfach die Polarkoordinatendarstellung, ok danke!

sind das nicht 3/4 Pi?

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Nein. 3/4 Pi wären -1 + i. -1 - i sind 5/4 pi. Kannst es dir ja einzeichenen und es überprüfen, aber der Winkel liegt genau zwischen pi = 4/4 pi und 3/2 pi = 6/4 pi. Zwischen 4/4 pi und 6/4 pi liegt 5/4 pi. Logisch oder?