Wie berechne ich Flächeninhalt von Parallelogramm, Raute und Trapez (Vektorenrechnung)?

Question

I Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wir haben das Kreuzprodukt noch gar nicht gemacht und sollen jedoch in der Lage sein, mithilfe von Vektoren den Flächeninhalt von Trapez, Parallelogramm und Raute berechnen. Ich weiß leider nicht wirklich, wie man das macht.

Comments

Es wäre hilfreich, wenn Du hier die konkrete Aufgabenstellung wiedergeben würdest.

Answer 1

Die Seiten der ebenen Figuren sind sicher als Vektoren gegeben.

Berechne die Beträge dieser Vektoren. Das sind die Längen der Seiten. Rechne dann elementargeometrisch.

Answer 2

Aloha :)

Du hast 2 Vektoren, $\vec a$ und $\vec b$, die die Fläche aufspannen. Du kannst $\vec b$ auf $\vec a$ projezieren, diese Projektion von $\vec b$ subtrahieren und bekommst dann den Vektor, der auf $\vec a$ senkrecht steht:$$\vec b_\perp=\vec b-\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec a}{a^2}$$Der Betrag $|\vec b_\perp|$ ist gleich der Höhe des Rechtecks über der Strecke $a$. Die Fläche ist daher:$$F=\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b_\perp\right|=a\left|\vec b_\perp\right|$$Einfacher wird die Rechnung im Quadrat:$$F^2=a^2\left(\vec b-\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec a}{a^2}\right)^2=a^2\left(\vec b^2-2\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot(\vec b\cdot\vec a)}{a^2}+\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2\cdot\vec a^2}{a^4}\right)$$$$\phantom{F^2}=a^2\left(\vec b^2-2\frac{(\vec a\cdot\vec b)^2}{a^2}+\frac{(\vec a\cdot\vec b)^2}{a^2}\right)=a^2\left(b^2-\frac{(\vec a\cdot\vec b)^2}{a^2}\right)$$$$F^2=(ab)^2-(\vec a\cdot\vec b)^2$$Du brauchst also nur die Beträge $a$ und $b$ der beiden Vektoren und deren Skalarprodukt $\vec a\cdot\vec b$ zur Berechnung der Fläche.