Falls R ein Integritätsbereich ist und J eine Einheit von R enthält, dann ist J=R.

Question

Sei R ein kommutativer Ring mit Einselemen und I,J Ideale von R. Falls R ein Integritätsbereich ist und J eine Einheit von R enthält, dann ist J=R.

Wie muss ich vorgehen? Hoffe ihr könnt mir helfen.

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Answer 1

J ⊆ R ist ja klar, gilt für jedes Ideal.

Sei also x∈R.  Und J ist ein Ideal mit e∈J und

e ist eine Einheit, d.h.: Es gibt ein f∈R mit e*f=1 .

Daraus muss man nun herleiten   x∈J.

Da  x∈R  und e∈J und J ein Ideal ist

==>    e*x ∈ J    Da  f∈R also auch

==>  f*(e*x) ∈ J      * ist assoziativ (Ring!)

==>  (f*e)*x ∈ J      Einheit !

==>   1*x   ∈ J       Def. 1

==>     x   ∈ J              q.e.d.

Answer 2

Sei a ∈ J eine Einheit von R und b ∈ R.

Dann ist a·b·a^-1 ∈ J, weil J Ideal von R ist.

Weil R kommutativ ist, ist a·b·a^-1 = a·a^-1·b = 1·b = b.

Also ist b ∈ J.

Etwas seltsam kommt mir vor, dass ich anscheinend die Nullteilerfreiheit von R nicht verwendet habe.