Aloha :)
$$f(x,y)=2x^2-y^2-2x+4y+3$$Die Kandiaten für Extremstellen liegen immer dort, wo der Gradient der Funktion zu Null wird:$$\text{grad}\,f(x,y)=\binom{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}=\binom{4x-2}{2y+4}\stackrel{!}{=}\binom{0}{0}\quad\Rightarrow\quad\binom{x}{y}=\binom{1/2}{2}$$Jetzt haben wir zwar einen Kandidaten für ein Extremum, müssen aber noch prüfen, ob es sich auch wirklich um ein Extremum handelt. Dazu schreiben wir die Funktionsgleichung wie folgt um:
$$f(x,y)=2x^2-y^2-2x+4y+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2(x^2-x)-(y^2-4y)+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2\left(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)-\left(y^2-4y+4-4\right)+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-\frac{2}{4}-\left(y^2-4y+4\right)+4+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{2}{4}-\left(y-2\right)^2+4+3$$$$\phantom{f(x,y)}=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\left(y-2\right)^2+\frac{13}{2}$$Der Extremum-Kandidat \((\frac{1}{2};2)\) passt da offenbar sehr gut rein, wir lesen direkt ab \(f(\frac{1}{2};2)=\frac{13}{2}\). Aber jetzt kommt das Problem, wenn wir \(x=\frac{1}{2}\) festhalten und \(y\approx2\) leicht variieren, wird der Term \(-(y-2)^2<0\). Das heißt, Variationen in \(y\)-Richtung verkleinern der Funktionswert \(\frac{13}{2}\). Halten wir umgekehrt \(y=2\) fest und variieren \(x\approx\frac{1}{2}\), wird der Term \(2(x-\frac{1}{2})^2>0\). Das heißt, Variationen in \(x\)-Richtung vergößern den Funktionswert \(\frac{13}{2}\). Wegen dieses unterschiedlichen Verhaltens bei Variationen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung, ist unser Kandidat kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt.
