Realteil, Imaginärteil und Betrag aus komplexen Zahlen

Question

ich muss aus folgenden Ausrücken den Realteil, Imaginärteil und Betrag herausfinden

1: \( \frac{3+4i}{2-i} \)

2: (1+i)⁸

3: (\( \frac{1+i}{1-i} \))ⁿ

Problem/Ansatz:

1: \( \frac{(3+4i)}{(2+i)} \) * \( \frac{2+i}{2+i} \) = \( \frac{(2+11i)}{5} \)

Realteil: 2/5

Imaginärteil: 11/5

Betrag: \( \sqrt{5} \)

2: Hier habe ich es einfach ausmultipliziert 8 mal und habe als Ergebnis 16.

Also vermute ich mal, dass der Realteil 16 ist und es keinen Imaginärteil gibt?

3: Hier habe ich leider keine Idee wie ich da rangehen soll. Kann mir da jemand weiter helfen?

Answer 1

Das Ergebnis in 1 und 2 stimmt.

zu 3)

- vereinfache (1+i)/(1-i)= i^n

i= e^(i *π)/2

->

=cos((π*n)/2) +i sin((π*n)/2

damit kannst Du die Aufgabe lösen.

Comments

Danke, Schön, das man auch MAL gegen Tschaka gewinnt :)

Answer 2

(1+i)⁸= [(1+i)²]⁴=(2i)⁴=(2i)²·(2i)²

^{Das Ergebnis ist natürlich 16, aber es ist etwas schneller.}

Answer 3

Aloha :)

Deine Lösungen für 1 und 2 sind korrekt. Für 3 schlage ich vor:

$$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n=\left(\frac{-i^2+i}{1-i}\right)^n=\left(\frac{i(-i+1)}{1-i}\right)^n=i^n=\left(\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)\right)^n$$$$=\left(e^{i\pi/2}\right)^n=e^{in\pi/2}=\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$$

Comments

das habe ich schon vor 3 Stunden beantwortet .....