Bestimmung des 90%-Intervalls mithilfe der Näherungsformel

Question

ich bin bei folgender Aufgabe total ratlos und wäre über Hilfe sehr dankbar.

Eine Maschine stellt mit einer Wk von 3% schadhafte Ware her. Es werden 10 Paletten mit 100 Stück bestellt. Bestimmen Sie, mit wie vielen einwandfreien Stücken zu rechnen ist, indem Sie mithilfe der Näherungsformel das 90%-Intervall bestimmen.

Der Erwartungswert liegt denke ich bei 970 und fie Standardabweichung bei etwa 5,4. Ich habe aber leider keine Idee, wie man ein 90%-Intervall bestimmt.

Über Hilfe freue ich mich wirklich sehr.

LG Katharina

Answer 1

X: Anzahl funktionierender Ware.
μ = 970, σ = 5.394

90%-Intervall: [μ - 1.645*σ; μ + 1.645*σ] ≈ [961; 979]

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Vielen Dank!

Answer 2

Sei X binomialverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Die Näherungsformel besagt, dass

        P(X ≤ k) ≈ Φ( (k + 0,5 - μ) / σ)

ist. Dabei ist Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Diese hast du als Tabelle vorliegen oder in deinem Taschenrechner.

mithilfe der Näherungsformel das 90%-Intervall bestimmen

Solche Intervalle sollen symmetrisch um den Erwartungswert liegen.

Weil die Dichtefunktion der Normalverteilung achsensymmetrisch zur y-Achse ist, reicht es deshalb, ein x zu bestimmen, für das

        Φ(x) = 0,95

ist. Bestimme das zugehörige x mit dem Taschenrechner oder der Tabelle. Löse dann die Gleichungen

        x = (k₂ + 0,5 - μ) / σ

und

        -x = (k₁ - 0,5 - μ) / σ

nach k₂ bzw. k₁ auf. Das sind dann die Intervallgrenzen.

Diese Näherung ist umso besser, je größer die Standardabweichung ist. Als Faustregel gilt die sogenannte Laplace-Bedingung σ ≥ 3, ab der eine gute Näherung eintritt.

Answer 3

NORMAL(k) = 0.5 + 0.9/2 --> k = 1.645

[n·p - k·√(n·p·(1 - p)), n·p + k·√(n·p·(1 - p))]
= [1000·0.97 - 1.645·√(1000·0.97·(1 - 0.97)), 1000·0.97 + 1.645·√(1000·0.97·(1 - 0.97))]
= [961, 979]

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