Du musst erst mal nicht zwingend einen Induktionsbeweis durchführen. Du benötigst nur die Angabe eines hinreichend großen N(k), für das die Ungleichung gilt (und den Nachweis, dass dieses N(k) ausreicht).
Wie groß müsste dieses N sein?
Erster Versuch: Wir setzen N=k.
Die linke Seite wäre dann k*k*...*k, während die rechte Seite nur 1*2*3*...*k ist.
Die linke Seite ist also größer als die rechte.
Zweiter Versuch: Wir setzen N=2k.
Die linke Seite wäre dann k*k*...*k (mit 2k Faktoren), während die rechte Seite
1*2*3*...*k*(k+1)*(k+2)*...*(2k-1)*(2k) ist.
Wir ordnen jetzt rechts die Faktoren um, indem wir den ersten mit dem letzten, den zweiten mit dem vorletzen, den dritten mit den drittletzten usw. multiplizieren. Das vergleichen wir jeweils mit k*k.
Wir stellen fest:
k²>1*2k (jedenfalls wenn k mindestens 2 ist)
k²>2*(2k-1) (jedenfalls wenn k mindestens 4 ist)
k²>3*(2k-2) (jedenfalls wenn k mindestens 5 ist)
...
lediglich "in Richtung Mitte" kehrt sich das mal um, denn
k²<k*(k+1)
Da aber eine Schwalbe noch keinen Sommer macht, wird das Produkt der linken Seiten sicher insgesamt größer bleiben als das Produkt der rechten Seiten.
Du brauchst also ein N, was deutlich größer als 2k ist.
