stochastik - Rote Ampeln

Question

ich stehe vor dieser Aufgabe und komme nicht klar.

Aufgabe:

Wenn ein Student morgens zur Uni fährt, passiert er nacheinander drei Ampeln. Er hat festgestellt, dass in etwa 1/4 der Fälle alle drei Ampeln grün zeigen, wenn er darauf zufährt. In 1/4 der Fälle ist die erste Ampel grün aber die anderen beiden rot, in 1/4 der Fälle ist die zweite Ampel grün und die anderen beiden rot und in 1/4 der Fälle ist die dritte Ampel grün und die ersten beiden rot.
a) Gib ein Modell für das Experiment an.
b) Es seien A1,A2,A3 die Ereignisse, erste Ampel rot, zweite Ampel rot und dritte
Ampel rot. Zeige, dass A1,A2 und A3 paarweise unabhängig sind.
c) Sind A1,A2 und A3 auch in ihrer Gesamtheit unabhängig?
d) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die zweite und dritte Ampel grün sind, wenn die erste Ampel bereits grün war.

Ich würde mich freuen wenn mir jemand da helfen könnte.

Answer 1

a) Gib ein Modell für das Experiment an.

Ω = {ggg, grr, rgr, rrg}
Es handelt sich um ein Laplace Experiment, d.h. alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.

b) Es seien A1, A2, A3 die Ereignisse, erste Ampel rot, zweite Ampel rot und dritte Ampel rot. Zeige, dass A1, A2 und A3 paarweise unabhängig sind.

P(A1) = 2/4 = 1/2
P(A2) = 2/4 = 1/2
P(A3) = 2/4 = 1/2
P(A1 ∩ A2) = 1/4 = 1/2·1/2 = P(A1)·P(A2)
P(A1 ∩ A3) = 1/4 = 1/2·1/2 = P(A1)·P(A3)
P(A2 ∩ A3) = 1/4 = 1/2·1/2 = P(A2)·P(A3)

c) Sind A1, A2 und A3 auch in ihrer Gesamtheit unabhängig?

P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0 ≠ 1/2·1/2·1/2 = P(A1)·P(A2)·P(A3)
A1, A2 und A3 sind in der Gesamtheit abhängig.

d) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die zweite und dritte Ampel grün sind, wenn die erste Ampel bereits grün war.

P(xgg | gxx) = P(ggg | gxx) = (1/4) / (2/4) = 1/2