Aloha :)
Gegeben ist:$$a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\;\;;\;\;b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\;\;;\;\;a_0=a\;\;;\;\;b_0=b\;\;;\;\;0\le a\le b$$Für \(x,y\in\mathbb{R}^{\ge0}\) gilt allgemein:$$0\le\left(\sqrt x-\sqrt y\right)^2=(\sqrt{x})^2-2\sqrt{xy}+(\sqrt{y})^2=x-2\sqrt{xy}+y$$$$\Rightarrow\quad2\sqrt{xy}\le x+y\quad\Rightarrow\quad\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\quad\Rightarrow\quad\sqrt{a_nb_n}\le\frac{a_n+b_n}{2}$$$$\Rightarrow\quad a_{n+1}\le b_{n+1}$$Nach Voraussetzung ist aber auch \(a\le b\) bzw. \(a_0\le b_0\), sodass für alle \(n\) gilt:$$a_n\le b_n\quad;\quad\text{für alle }n$$Damit können wir die Monotonie der Folgen untersuchen:
$$a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\ge\sqrt{a_na_n}=a_n\quad\Leftrightarrow\quad (a_n)\text{ wächst monoton}$$$$b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le\frac{b_n+b_n}{2}=b_n\quad\Leftrightarrow\quad (b_n)\text{ fällt monoton}$$Weil \((b_n)\) monoton fällt, ist \(a_n\le b_n\le b_0=b\), d.h \(a_n\le b\) für alle \(n\).
Weil \((a_n)\) monoton wächst, ist \(b_n\ge a_n\ge a_0=a\), d.h. \(b_n\ge a\) für alle \(n\).
\((a_n)\) ist also monoton wachsend und durch \(b\) nach oben beschränkt.
\(\Rightarrow\) \((a_n)\) konvergiert.\(\quad\checkmark\)
\((b_n)\) ist also monoton fallend und durch \(a\) nach unten beschränkt
\(\Rightarrow\) \((b_n)\) konvergiert.\(\quad\checkmark\)
Sei \(\alpha\) der Grenzwert von \((a_n)\) und \(\beta\) der Grenzwert von \((b_n)\), dann folgt aus der Definitionsgleichung von \(b_{n+1}\):$$\beta=\frac{\alpha+\beta}{2}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\beta\quad\checkmark$$Diese Betrachtung ist erlaubt, weil vorher die Existenz der Grenzwerte gezeigt wurde.
