Folgt aus der Injektivität einer Funktion immer die Monotonie?

Question

Aufgabe:

Folgt aus der Injektivität einer Funktion f : D -> ℝ mit D ⊆ ℝ immer die (strenge oder schwache) Monotonie?

Es soll ein Gegenbeispiel angegeben werden und die Funktion f und auch D konkret angegeben und skizziert werden. 

Problem/Ansatz:

D:= [0,1]

es soll bei der Definition von f zwischen x<1 und x=1 unterschieden werden.

Answer 1

Wenn \(f: I\to \mathbb{R}\) stetig ist, so gilt in der Tat:

\(f\) injektiv \(\Leftrightarrow\) streng monoton (wachsend oder fallend)

Du könntest z. B. \(f: [0,1] \to [0,1], x\mapsto \begin{cases}x+1 \text{ für } x\in [0,1) \\0 \quad\, \, \, \,\,  \text{ für } x=1\end{cases}\) betrachten. Dann folgt aus \(x_1,x_2\in [0,1]\) mit \(x_1<x_2\) nicht, dass auch \(f(x_1)<f(x_2)\) oder andersherum.

Answer 2

Die Aufgabe reizt das Thema nicht aus. Sie sollte heißen:

Folgt aus der Injektivität einer stetigen Funktion f : D -> ℝ mit D ⊆ ℝ immer die (strenge oder schwache) Monotonie?

Antw: Nein!

Bsp: f(x) = 1/x, D=R\{0}

f(x) ist wirklich steitig :)

Answer 3

Folgt aus der Injektivität einer Funktion f : D -> ℝ mit D ⊆ ℝ immer die (strenge oder schwache) Monotonie?

Nein.

D := {1,2,3} , f(1)  = 1, f(2)  = 3, f(3)  = 2.

Dann ist f nicht monoton, aber injektiv.

Problem/Ansatz: D:= [0,1]

Warum macht du es dir so kompliziert?

es soll bei der Definition von f zwischen x<1 und x=1 unterschieden werden.

Ich denke das habe ich gemacht. Für x<1 ist f nicht definiert, für x=1 ist f definiert.