Beweisen Sie, dass die Folge (an)n∈ℕ mit dem Startwert a1 = 1/4 konvergiert und mit dem Startwert a1 = 3/4 divergiert.

Question

Gegeben sei (a_n) n ∈ ℕ mit Startwert a₁ ∈ ℝ sowie

\( a_{n+1}:=a_{n}^{2}+\frac{1}{4} \quad \) für \( n \in \mathbb{N} \)

Beweisen Sie, dass die Folge (a_n) n ∈ ℕ mit dem Startwert a₁ = \( \frac{1}{4} \)

konvergiert und mit dem Startwert a₁ = \( \frac{3}{4} \) divergiert.

Comments

Falls  \(a_1=\frac34\) ist, zeige per Induktion über \(n\), dass \(a_n>\frac n4\) für alle \(n\) ist.

Answer 1

Fall 1: \(a_1=3/4\)

du musst einerseits zeigen, dass die Funktion beschränkt ist und andererseits, dass sie monoton ist:

a) Zeige, dass \(a_n\leq 0.5\) und \(a_{n+1}\geq a_n\)

Fall 2: \(a_1=3/4\)

Zeige, dass \(a_n\) unbeschränkt ist.

________________________________________________________

Etwas heuristischer kannst du sagen:

Man nehme an, der Grenzwert existiere, dann gilt nämlich:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=:x$$ und daraus entspringt die Fixpunktgleichung \(x^2-x+\frac{1}{4}=0\) mit der Lösung \(x=0.5\). Du wirst sehen, dass \(x^2-x+\frac{3}{4}=0\) keine Lösung hat.