Basis: Für jedes a einen bestimmten Vektor als Linearkombination der Basisvektoren darstellen

Question

Aufgabe:

Geben Sie alle a ∈ ℝ an, für die die Vektoren v1, v2, v3 eine Basis des ℝ³ bilden und stellen Sie für jedes dieser a den Vektor w= (1,2,3) als Linearkombination auf der Basisvektoren dar, das heißt, bestimmen Sie (eindeutige) λ1, λ2, λ3 ∈ ℝ mit w= λ1v1 + λ2v2 + λ3v3.

v1 = (1, 1, a)

v2 = (0, a, a)

v3 = (1, 0, 1)

Problem/Ansatz:

Ich würd mich über einen nachvollziehbaren  Lösungsweg freuen, da ich nicht weiß , wie ich hier vorgehen soll.

Answer 1

Schreibe die drei Vektoren als Spalten in eine Matrix M.

Dann ist det(M) = -a * (a-2) .

Das ist 0 genau dann, wenn a=0 oder a=2.

In allen anderen Fällen sind die Vektoren lin. unabh.

und bilden also eine Basis von R³.

         λ1                 1
M *   λ2       =         2
        λ3                  3

gibt ein lineares Gl.system für die λ's . Es gibt

λ1=0     λ2=  2/a     λ3= 1.

Answer 2

$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\a \end{pmatrix} \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ a \end{pmatrix}; \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Damit die drei Vektoren eine Basis bilden, müssen sie linear unabhängig sein, d.h. ihre Determinante muss ungleich Null sein.

$\begin{vmatrix}1&0&1\\1&a&0\\a&a&1\end{vmatrix}=a+a-a^2=2a-a^2\ne0$

Für $a=0$ und $a=2$ wird die Determinante 0, d.h. damit die Vektoren linear unabhängig sind, muss gelten:

$a \in \mathbb{R}\setminus\{0; 2\}$

$\vec{w} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\3 \end{pmatrix} =\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} +\lambda_2 \begin{pmatrix} 0\\ a\\a \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 1\\ 0\\1 \end{pmatrix}$

Das ergibt drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

$1=\lambda_1+\lambda_3$                               (1)

$2=\lambda_1+\lambda_2\cdot a$                          (2)

$3=\lambda_1\cdot a+\lambda_2\cdot a+\lambda_3$           (3)

(1) $\Rightarrow \lambda_3=1-\lambda_1$ in (3) einsetzen:

$3=\lambda_1\cdot a+\lambda_2\cdot a+1-\lambda_1$

$2=\lambda_1\cdot a-\lambda_1+\lambda_2\cdot a$             (4)

(2) $\Rightarrow \lambda_2\cdot a= 2-\lambda_1$ in (4) einsetzen:

$2=\lambda_1\cdot a-\lambda_1+ 2-\lambda_1$

$0=\lambda_1\cdot(a-2)$

Da $a\ne 2$ ist, muss $\lambda_1=0$ gelten.

Damit wird $\lambda_3=1$ und $\lambda_2=\dfrac{2}{a}$.

Da $a\ne0$ gilt, ist $\lambda_2$ definiert.