Vollständige Induktion an Beispiel mit Produkt und Summe zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie per Vollständiger Induktion:
a) Für alle n ∈ ℕ₀ und alle x ∈ ℝ gilt:

(1-x) \( \prod_{k=0}^{n}{} \) 1-x^{2^k} = 1 - x²ⁿ⁺¹

Beachten Sie die Definition a^{b^c} := a(^{b^c}). Anmerkung: a^{b^c} heißt a hoch b hoch c

b) Für alle n ∈ ℕ gilt:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{} \) k² = \( \frac{n}{6} \) (n+1) (2n+1) 

Hinweis: Im Induktionsschritt sollte man irgendwann \( \frac{n+1}{6} \) ausklammern.

 c) Für alle n ∈ ℕ und alle x ∈ ℝ mit x ≥ -1 gilt:
(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

Erläutern Sie auch kurz, inwiefern/ob/wo Sie die Voraussetzung

"x ≥ -1" verwendet haben.

d) Für alle n ∈ ℕ ist 4ⁿ⁺¹ + 5^2n-1 durch 21 teilbar.

(Vielleicht hilft der Hinweis, dass 25 = 4 + 21)

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) falsch abgeschrieben.

Außerdem: Soll die Anmerkung heißen:  \( a^{b^{c}} \) heißt a hoch (b hoch c)  ?

b) und c) sind alte Hüte, die überall stehen.

https://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Summe_%C3%BCber_Quadratzahlen

https://www.mathelounge.de/463988/vollstandige-induktion-1-x-n-1-n-x

d):     "21 I"    soll heißen    "21 teilt"

21 I 4ⁿ⁺¹ + 5^2n-1

Ind. Verank. n=0:  schon falsch

n=1: 21 I 16 + 5  ok, also heißt es im Satz richtig: n∈ℕ\{0}, denn die 0 wird seit vielen Jahren zu ℕ gerechnet.

Schritt n→n+1: Es gelte: 21 I 4ⁿ⁺¹ + 5^2n-1

Was ist mit 4ⁿ⁺² + 5^2(n+1)-1  ?

= 4ⁿ⁺² + 5²ⁿ⁺¹ = 4ⁿ⁺¹⁺¹ + 5^2n-1+2 = 4*4ⁿ⁺¹ + 25*5^2n-1 =4*4ⁿ⁺¹ + 4*5^2n-1 +21*5^2n-1 = 4(4ⁿ⁺¹ + 5^2n-1) + 21*5^2n-1

                                                                                                                                                                                                     ^{21 I                         21 I}

⇒ Satz