Komplexe Mengen darstellen? Bsp. 1: M1 = {z ∈ C∣ |z+i| + |z-i| = 4}

Question

Ich soll folgende komplexe Zahlenmengen skizzieren und erklären

1: M1 = {z ∈ C∣ |z+i| + |z-i| = 4}

2: M2 = {z ∈ C∣ Im \( \frac{z+i}{z+1} \) = 0}

3: M3 = {\( \frac{i-t}{t-1} \) ∈ C∣ t ∈ R \ {1}}

Meine Ideen:

1: Ich dachte mir, wenn ich i und -i als Mittelpunkte für zwei Kreise nehme und die Summe des Abstands dieser Mittelpunkte = 4 sein muss, könnte man den Punkt zwischen i und -i nehmen (also bei 0) und von 0 den Radius 2 nehmen. Also wäre die Menge ein Kreis der durch die Punkte 2, -2, 2i und -2i geht. Ist das richtig so?

2: Hier ist klar, dass ich den Term \( \frac{z+i}{z+1} \) umschreiben muss in die Form z=x + iy und dann iy = 0 setzen muss, weil das ja die Bedingung ist. Dann wäre die Menge nur eine Gerade mit dem Wert von x. Mein Problem ist, dass ich es nicht hinbekomme den Ausdruck in die Form x + iy zu schreiben. Kann mir da jemand helfen?

3: Hier habe ich leider noch gar keine Idee. Kann mir hier vielleicht jemand einen Denkanstoß geben?

Answer 1

Also wäre die Menge ein Kreis der durch die Punkte 2, -2, 2i und -2i geht. Ist das richtig so?

Das geht in die richtige Richtung. Es gibt einen Kegelschnitt aber keinen Kreis.

1: M1 = {z ∈ C∣ |z+i| + |z-i| = 4}

Kannst du geometrisch lösen. Verwende: Betrag einer Differenz = Abstand

1: M1 = {z ∈ C∣ |z-(-i) | + |z-i| = 4}

Das ist die Menge der Punkte, die von u= -i nun v= i zusammen den Abstand 4 haben. Das gibt eine Ellipse.

Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Brennpunkt_(Geometrie)

Answer 2

habe mal 2. gerechnet:

Hier mußt Du konjugiert komplex erweitern.