Ausgleichs- oder Regressionsgerade: Gegeben seien die folgenden Messpunkte

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden \( n=5 \) Messpunkte \( P_{i}=\left(x_{i} ; y_{i}\right) . \)

\( P_{1}=(2 ; 8), \quad P_{2}=(4 ; 6), \quad P_{3}=(5 ; 7), \quad P_{4}=(8 ; 15), \quad P_{5}=(11 ; 20) \)

1) Tragen Sie die \( n=5 \) Messpunkte in das Koordinatensystem ein.

2) Ausgleichs- oder Regressionsgerade

Diejenige Gerade \( y=a+b \cdot x, \) die sich den \( n \) vorgegebenen Messpunkten \( P_{i}=\left(x_{i} ; y_{i}\right) \), optimal" anpasst (die Summe der Abweichungsquadrate ist minimal), heißt Ausgleichs- oder Regressionsgerade. Die beiden Parameter a und b werden durch das lineare Gleichungssystem bestimmt:

\( \begin{aligned} n \cdot a &+\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right) \cdot b=\sum \limits_{i=1}^{n} y_{i} \\\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right) \cdot a+\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) \cdot b &=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} \end{aligned} \)

Stellen Sie das Gleichungssystem mit den oben gegebenen Messpunkten auf und berechnen Sie a und \( b \) und damit die Regressionsgerade \( y=a+b \cdot x \) mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren.

Lösung: y = a+b·x = __ + __ ·x

Problem/Ansatz:

Habe ich die Aufgabe so richtig gedeutet :

Answer 1

rein optisch passt die Gerade, die Du oben eingezeichnet hast, schon nicht. Sie ist zu tief .. Ich habe als Ergebnis \(a=1,72\) und \(b=1,58\). Das sieht so aus:

~plot~ {2|8};{4|6};{5|7};{8|15};{11|20};1.72+1.58*x;[[-2|14|-2|24]] ~plot~

Deine Mittelwerte sind korrekt. Die \(\sum (x_i - \overline{x})^2\) ist korrekt. Bei \(\sum (x_i - \overline{x})(y_i-\overline y)\) habe ich \(79\) heraus. Das lineare Gleichungssystem, wie es in der Aufgabenstellung angegeben ist, finde ich bei Dir nicht. Meines ist:$$\begin{pmatrix} 5 & 30 \\ 30 & 230 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 56\\415 \end{pmatrix}$$mit den oben angegebenen Lösungen.

Gruß Werner

Comments

Habe nicht ganz verstanden wie man hier das Gleichungssystem aufstellen soll...

könnten Sie das nochmal vielleicht verdeutlichen wie das Oben aufgeführte System entsteht?

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Habe nicht ganz verstanden wie man hier das Gleichungssystem aufstellen soll...

Das steht doch oben unter Punkt 2.:

Die beiden Parameter a und b werden durch das lineare Gleichungssystem bestimmt $$\begin{array}{c} {\mathrm{n} \cdot \mathrm{a}+\left(\sum \limits_{i=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right) \cdot \mathrm{b}=\sum \limits_{i=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}} \\ {\left(\sum \limits_{i=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right) \cdot \mathrm{a}+\left(\sum \limits_{i=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}^{2}\right) \cdot \mathrm{b}=\sum \limits_{i=1}^{n} \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}} \end{array}$$

Wenn man das umformt kommt man natürlich zu den Lösungsformel, wie sie auch für \(a\) und \(b\) angegeben sind.

Und weiter steht dann da:

Stellen sie das Gleichungssystem ... auf

Was z.B. \(\sum x_i\) bedeutet, ist Dir auch klar. Das hast Du ja schon bei den Formeln angewendet.

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Habe das Gleichungssystem, dann aufgestellt und gelöst.

⇒ Erste Zeile: x1 = \( \frac{43}{25} \) - \( \frac{23•a-3•b}{25} \)•x3 

⇒ Zweite Zeile : x₂ = \( \frac{79}{50} \) + \( \frac{6•a-b}{50} \)•x₃  

Jetzt sehe ich ja das die \( \frac{43}{25} \) mein a ist also 1,72. Wie kann ich das deuten, ist das immer so der Fall das mein a und mein b so ablesbar sind?

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.. ist das immer so der Fall das mein a und mein b so ablesbar sind?

von was ablesbar? Was sind \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) in Deinem Kommentar? Wie kommst Du auf 'Erste Zeile ...', 'Zweite Zeile ... '?

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sorry war ein Falscher Ansatz.

\( \begin{pmatrix} 5& 30 &a&|56 \\ 30 & 230&b&|415 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 5& 30 &a&|56 \\ 0& 50 &-6a+b&|79 \end{pmatrix} \)

ab hier weiß ich aber nicht genau wie es weiter gehen soll...

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Sorry hab es gelöst, hab jetzt gesehen das es einfach 2*2 ist. Danke

Answer 2

Kaum lesbar - ich hab