Wie zeige ich, dass es für jedes y aus einer geordneten endlichen Menge ein minimales x gibt?

Question

Aufgabe:

Sei M eine geordnete, endliche Menge (die Relation wird als ≤ dargestellt).

Zeigen Sie, dass es für jedes y∈M ein minimales x∈M gibt, für das x≤y gilt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, die Aufgabe sieht ziemlich einfach aus (und ist sie wahrscheinlich auch :p). Aber ich hab mir trotzdem noch keine Lösung ausdenken können...

Im grunde muss ich nur zeigen, dass jedes y größer/gleich das kleinste Element aus M ist, oder? Wie genau zeige ich das dann?

Oder gehe ich komplett falsch an die Aufgabe ran?

MfG,

Doug

Comments

Ist die Frage für endliche M hier gemeint? Hast du die erledigt?

Frage und Versuche für unendliche Mengen hast du glaub ich hier: 

https://www.mathelounge.de/672158/wenn-das-einzige-minimale-element-ist-ist-dann-auch-kleinste

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Ist die Frage für endliche M hier gemeint?

Wenn ich dich richtig Verstehe, meintest du Teil b) (siehe Frage von Vikiller94), was

Sei M endlich und sei x∈M das einzige minimale Element. Ist x dann kleinstes Element von M?

wäre..?

Diese Frage war eher für Aufgabenteil a) gedacht , also

Zeigen Sie, dass es für jedes y∈M ein minimales x∈M gibt, für das x≤y gilt.

Für beide Teile habe ich auch bei Vikiller94's Frage meinen Gedankengang dargestellt (siehe link oben). Habe außerdem auch schon diese Antworten aufgeschrieben und an den Tutor abgegeben, heißt ich habe die grundsätzlich "erledigt". :)

Frage und Versuche für unendliche Mengen hast du glaub ich hier: https://www.mathelounge.de/672158/wenn-das-einzige-minimale-element-ist-ist-dann-auch-kleinste

Genau, das war wie die b), aber für beliebige, also auch für unendliche Mengen. Diesen Teil habe ich auch schon "erledigt". :p

MfG,
Doug.

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Hier nochmal die ganze Aufgabe, um es etwas anschaulicher zu machen!

Sei M eine geordnete Menge (wir schreiben die Relation als ≤).

(a)
Sei zunächst M endlich. Zeigen Sie, dass es für jedes y∈M ein minimales x∈M gibt, für das x≤y gilt.

(b)
Sei M endlich und sei x∈M das einzige minimale Element. Ist x dann kleinstes Element von M?

(c)
Sei nun M beliebig und x∈M das einzige minimale Element. Ist x dann kleinstes Element von M?