Aloha :)
Aus dem Text entnimmst du die Punkte für das Maximum \((0|5000)\) und das Minimum \((12|2408)\) der Funktion. Da bei Extremstellen auch die erste Ableitung gleich 0 sein muss, hast du damit die folgenden 4 Bedingungen:$$f(0)=5000\quad;\quad f'(0)=0\quad;\quad f(12)=2408\quad;\quad f'(12)=0$$Gesucht ist nun ein Polynom 3-ter Ordnung, das alle diese Bedinungen erfüllt.
Ein Polynom 3-ter Ordnung abgeleitet, ergibt ein Polynom 2-ter Ordnung. Die Ableitung ist also eine quadratische Funktion. Von dieser Ableitung kennen wir bereits 2 Nullstellen, nämlich die beiden Extremstellen \(x=0\) und \(x=12\). Daher muss die Ableitung der gesuchten Funktion wie folgt aussehen:$$f'(x)=a\cdot x\cdot(x-12)=ax^2-12ax\quad;\quad a=\text{const.}$$Damit ist aber auch klar, wie die Funktion selbst aussehen muss:$$f(x)=\frac{1}{3}ax^3-6ax^2+c\quad;\quad a,c=\text{const.}$$Die Konstante \(c\) folgt sofort aus \(f(0)=5000\), denn:$$5000=f(0)=\frac{1}{3}a\cdot0^3-6a\cdot0^2+c=c\quad\Rightarrow\quad c=5000$$$$\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{3}ax^3-6ax^2+5000\quad;\quad a=\text{const.}$$Die Konstante \(a\) folgt aus der letzten Bedingung \(f(12)=2408\).$$2408=f(12)=\frac{1}{3}a\cdot12^3-6a\cdot12^2+5000=576a-864a+5000=-288a+5000$$$$\Rightarrow\quad 288a=2592\quad\Rightarrow\quad a=9$$Damit lautet die gesuchte Funktion:$$f(x)=3x^3-54x^2+5000$$
~plot~ 3*x^3-54*x^2+5000; [[-1|15|0|5100]] ~plot~
