Zeigen dass A_n:={x_i: 1≤i≤n} abgeschlossen ist.

Question

Es sei \((X,d)\) ein metrischer Raum und \((x_n)_n\subset X\) eine Folge, die gegen \(x\in X\) konvergiert mit \(x_n\neq x\) für alle \(n\in \mathbb{N}\). Betrachten Sie für \(n\in \mathbb{N}\) die Mengen \(A_n:=\{x_i : 1\leq i \leq n\}\)

Zeigen Sie, dass \(A_n\) abgeschlossen ist für \(n\in \mathbb{N}\).

\(X\) ist folgenabgeschlossen, da für jede Folge \((x_n)_n\in X\) auch der Grenzwert in \(X\) liegt.

Damit \(A_n\) abgeschlossen ist, muss  \(X\backslash A_n\) offen sein. Es gilt aber doch \(X\backslash A_n=\{x\}\)? Sind nicht einelementige Mengen immer abgeschlossen, was bedeuten würde, dass \(A_n\) nicht abgeschlossen ist?

Hmm..

Comments

Rührt wahrscheinlich daher, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind und die endliche Vereingung von abgeschlossenen Mengen ebenso abgeschlossen ist:$$\bigcup_{i=1}^{n}\{x_n\}=\{x_1\}\cup \{x_2\}\cup \{x_3\}\cup \cdots \cup \{x_n\}$$

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Zur Fragestellung: Verstehe ich das richtig: Du sollst "abgeschlossen" und nicht "folgenabgeschlossen" zeigen?

Achtung: Die Mengen A_{n} sind endliche Mengen. Da bleibt bei X \ A_{n} nicht nur {x} übrig sondern eine Menge mit unendlich vielen Elementen.