[Extremalproblem] Optimale Größe für Rechteck-Rest mit abgebrochenem Dreieck

Question

Aufgabe:

Von einer rechteckigen Glasplatte mit den maßen 100x60 ist eine Ecke (10x4) entlang einer geraden Kante abgesprungen. Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe von größtmöglicher Fläche geschnitten werden (gestrichelte Linie). Wo muss man die Schnitte ansetzen?

Tipp: Nutze ein Koordinatensystem.

Problem/Ansatz:
Ich habe keinen wirklichen Ansatz. Satz des Pythogoras brauchen wir laut Lehererin nicht.

Comments

Hallo Tenshi,

habt Ihr schon Optimierung mit Lagrange- Multiplikator durch genommen?

Answer 1

der Flächeninhalt des gesuchten Dreiecks kann beschrieben werden durch

A=(100 - x)(60 - y) ( = Hauptbedingung)

y entspricht den Funktionswerten der Geraden, die durch die Punkte C' und C'' verläuft.

Deren Funktionsgleichung lässt sich mit den Koordinaten dieser beiden Punkte ermitteln (y = -0,4x + 96)

Wenn du dieses Ergebnis in die Gleichung von A für y einsetzt und die Klammern ausmultiplizierst, erhältst du eine Gleichung, deren 1. Ableitung du = 0 setzt, um den Extrempunkt zu bestimmen.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia,

bedenke den schmalen Definitionsbereich von \(x \in [90;100]\)

Gruß Werner

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Hallo Werner,

damit möchtest du mir hoffentlich nicht sagen, dass mein Ansatz falsch ist. Ich erhalte für x = 95, was in den Definitionsbereich passt, wobei ich allerdings etwas wie x = 5 erwartet hätte. Also doch ein Denkfehler meinerseits?

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Hallo Silvia,

ich wollte Dir gar nicht sagen, dass Dein Ansatz falsch ist, aber jetzt sehe ich, dass der Ansatz tatsächlich falsch ist :-/

Es war nach der maximalen Größe des Rechtecks gefragt, dessen obere rechte Ecke sich auf der Geraden des Schnittes befindet. Die gegenüberliegende Ecke \(A\) befindet sich im Punkt \((0;0)\). Demzufolge ist die Fläche des Rechtecks$$A = x \cdot y$$Hinweis: \(x_E= 120; \space x_{\text{opt}}=100\)

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ich wollte Dir gar nicht sagen, dass Dein Ansatz falsch ist, aber jetzt sehe ich, dass der Ansatz tatsächlich falsch ist :-/

schönes Eigentor ;-)! Aber falsche Antworten sind ja nicht der Sinn des Sache. Ich muss mir das noch einmal in Ruhe ansehen. Erst einmal danke für den Hinweis.

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Die Bedeutung der x,y in Deinen beiden Gleichungen ist unterschiedlich....

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Die Bedeutung der x,y in Deinen beiden Gleichungen ist unterschiedlich....

Nö ... eigentlich nicht. Silvia hat versehentlich das Rechteck optimiert, was in das kleine Dreieck \(\triangle C'C''C\) rechts oben hinein passt.

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Werner, die Extremstelle bei x = 120 ist jetzt klar. Wie schließe ich auf x_opt = 100? Wegen des geringsten Abstands zu 120?

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Berechne \(A\) für die Eckpunkte \(C‘‘\) und \(C‘\). Du kannst davon ausgehen, dass der Bereich dazwischen monoton fallend oder steigend ist.

Oder nehme das Lagrange Verfahren und mache Dir klar, was das Ergebnis aussagt.