Potenzfunktionen: Geben Sie den Scheitel und die Nullstellen des Graphen der drei gegebenen Funktionen an.

Question

!

Wie unterscheide ich diese Funktionen von Quadratischen Funktionen und Potenz Funktionen? Die erste Funktion ist doch eine Quadratische Funktion..oder? ^^

a) f(x) = x^2 -8x+14

b) f(x) = (x+4)(2x-6)

c) f(x) = 8x-6)^2 +1

Da wir gerade das Thema Potenz Funktionen durchnehmen, sollten  diese Funktionen Potenz Funktionen sein.

Im Youtube habe ich Videos zur Berechnung von den Nullstellen und dem Scheitel einer Potenz Funktion gesucht aber ich habe keine gefunden.

Ich sollte die Aufgabe lösen:

geben Sie den Scheitel und die Nullstellen des Graphen an.

 a) f(x) = x^2 -8x+14

b) f(x) = (x+4)(2x-6)

c) f(x) = 8x-6)^2 +1

Ich euch sehr dankbar, wenn mir einer weiterhelfen könnte.

Vielen Dank :)

Answer 1

Hi johana,

"Potenzfunktionen" sind Funktionen der Gestalt y = ax^n, wobei n eine natürliche Zahl ist. D.h. oben hast Du keine Potenzfunktion, weil immer noch weitere Summanden mitangehängt sind.

Aber prinzipiell hast Du recht: y = 3x^2 wäre zum Beispiel eine quadratische Potenzfunktion ;).

 

a) Nullstellen:

f(x) = x^2-8x+14   |pq-Formel mit p = -8 und q = 14

x₁ = 4-√2 und x₂ = 4+√2

 

Scheitelpunkt:

Quadratische Ergänzung (Du weißt wie das geht?)

--> y = (x-4)^2-2

Also mit y = a(x-d)^2+e und S(d|e) erhält man S(4|-2)

 

b) Nullstellen:

Kann man direkt ablesen:

x₁ = -4 und x₂ = 3

 

Scheitelpunkt:

Erst ausmultiplizieren, dann quadratische Ergänzung:

y = 2x^2+2x-24

--> y = 2(x+1/2)^2-49/2

S(-1/2|-49/2)

 

c) Nullstellen:

(8x-6)^2+1 = 0   |-1

(8x-6)^2 = -1

--> gibt keine Nullstellen

 

Scheitelpunkt:

(8x-6)^2+1

(8(x-6/8))^2+1

64(x-6/8)^2+1

S(6/8|1)

 

Grüße

Comments

Hallo Unknown!:) 

Ich habe leider mühe zu verstehen, wie die Quadratische Ergänzung funktioniert

Scheitelpunkt:

Quadratische Ergänzung (Du weißt wie das geht?)

--> y = (x-4)²-2

Also mit y = a(x-d)²+e und S(d|e) erhält man S(4|-2)

 

Könntest du mir an diesem Beispiel erklären, wie du vorgegangen bist? 

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Wir haben:

y = x^2-8x         +14

Vergleichen mit binomischer Formel a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2

Dabei ist -8x = -2*4*x = -2ab

Folglich ist b = 4 und b^2 = 16

y = x^2-8x+16-16      +14

y = (x-4)^2   -16+14

y = (x-4)^2 -2

Und damit kommt man auf S(4|-2)

 

Klar? :)

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Gerne ;)     .

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Ich hab noch eine Frage :)

b) Nullstellen:

Kann man direkt ablesen:

x₁ = -4 und x₂ = 3

wie hast du die Null  stellen abgelesen?

b) f(x) = (x+4)(2x-6)

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Ah das habe ich gerade für/bei Mathecoach beantwortet. Ist die Sache damit dann klar? :)

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Lieber Unknown ich bin so schlimm mittlerweile bin ich schon seit 3 Stunden daran diese Aufgabe zu verstehen >< 

Vielen Dank für deine Antworten!

Hier für die Scheitelpunkt Berechnung bei Aufgabe 2:
Scheitelpunkt:

Erst ausmultiplizieren, dann quadratische Ergänzung:

y = 2x^2+2x-24

--> y = 2(x+1/2)^2-49/2

S(-1/2|-49/2)

Wie hast du hier Quadratisch ergänz? Wie kommst du auf -49/2?

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Hier muss man etwas "tricksen" ;).

 

y = 2x²+2x-24

y = 2(x^2+x)     -24

Die Klammer vergleichen mit binomischer Formel:

a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2

Umschreiben von x zu 2*1/2*x

Vergleichen: 2ab = 2*1/2*x

Damit ist also b = 1/2 und b^2 = 1/4

y = 2(x^2+x+1/4-1/4)     -24

y = 2((x+1/2)^2-1/4)      -24

y = 2(x+1/2)^2 -1/2        -24

y = 2(x+1/2)^2  -24,5

Und -24,5 = -49/2

 

Alles klar? :)

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Vielen Dank Unknown! ^^Ich habe eine Frage, gibt es keinen schnelleren weg? In den Prüfungen sind wir oft unter starken Zeitdruck, gibt es vielleicht einen weg mit dem TI-89? ^^

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Nun auch hier kannst Du den Weg einschlagen, den Mathecoach gezeigt hatte.

Die Nullstellen sind bekannt und Du brauchst nur die Stelle in der Mitte zu nehmen ;).

Answer 2

Beim Lösen von quadratischen Gleichungen setze ich die pq oder Mitternachtsformel voraus:


f(x) = x^2 - 8·x + 14

Nullstellen f(x) = 0
x^2 - 8·x + 14 = 0
x = 4 ± √2

Der Scheitelpunkt befindet sich immer in der Mitte der beiden Nullstellen. also bei -p/2 = 4. Die Y-Koordinate dazu können wir über f(-p/2) bestimmen.

Sx = 4
Sy = f(4) = -2


f(x) = (x + 4)·(2·x - 6)

Nullstellen lassen sich in der faktorisierten Form direkt ablesen

x = -4 ∨ x = 3

Der Scheitelpunkt befindet sich immer in der Mitte der beiden Nullstellen.

Sx = (3 - 4)/2 = -1/2
Sy = f(-1/2) = -24.5


f(x) = 8·(x - 6)^2 + 1

Den Scheitelpunkt kann man aus der Scheitelpunktform direkt ablesen bei S(6, 1).

Nullstellen f(x) = 0

8·(x - 6)^2 + 1 = 0
x = 6 ± √(-1/8)

Die Diskriminante ist hier negativ, warum es keine Nullstellen gibt.

Comments

Aufgabe c) war ungenügend geklammert. Ich habe mal eine Klammer eingefügt, wo ich sie vermutet habe. Sollte das verkehrt sein bitte Bescheid geben.

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Vielen Dank :D Ja das stimmt bei c) habe ich die Klammer vergessen ^^

Ich habe eine Frage an dich

Der Scheitelpunkt befindet sich immer in der Mitte der beiden Nullstellen. also bei -p/2 = 4. Die Y-Koordinate dazu können wir über f(-p/2) bestimmen.

Sx = 4
Sy = f(4) = -2

 

Ist -p/2 immer die Mitte der Beiden Nullstellen? Ich habe noch nie davon gehört könntest du mir das genauer erklären? :D

Vielen Dank für deine Hilfe!

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Vielen Dank Mathecoach! :D
Nullstellen lassen sich in der faktorisierten Form direkt ablesen

x = -4 ∨ x = 3

ich habe grosse Schwierigkeiten den lösungsweg zu verstehen.

Wie hast du von  b) f(x) = (x+4)(2x-6)

  x = -4 ∨ x = 3 abgelesen? 

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In Vertretung für den Mathecoach:

Zu Deiner unteren Frage bedenke folgenden Merksatz:

Ein Produkt ist dann 0, wenn es min. ein Faktor ist.

Sorge also dafür, dass entweder (x+4)=0 oder (2x-6)=0 ist.

Da kommst Du dann direkt auf das Ergebnis.

 

Zur oberen Frage:

Der Scheitelpunkt befindet sich immer zwischen zwei Nullstellen. Und zwar genau in der Mitte von diesen. D.h. ist der Abstand zwischen beiden Nullstellen p, dann ist der Abstand von einer Nullstelle zur Scheitelstelle p/2.

Wir wissen ja, dass die Nullstellen lauten:

x₁ = 4-√2 und x₂ = 4+√2

Der Abstand ist also p = (4-√2) - (4+√2) = 4-√2 - 4-√2 = -2√2

(Bzw. der Betrag davon, da der Abstand immer positiv ist: p = 2√2)

Es ist p/2 = √2

Nun also zu x₁ p/2 dazuaddieren, oder bei x₂ p/2 subtrahieren.

--> 4-√2 + p/2 = 4-√2 + √2 = 4

 

;)

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Lieber Unknown ich habe das gefühl ich verstehe FAST deinen Lösungs weg, aber irgendwo mache ich einen Denkfehler.

Also ich verstehe 

-p ist der Abstand zwischen den beiden Nullstellen

-Der abstand von einer Nullstelle zur an der ist also p/2, ich dachte P sei 8 weil

f(x) = x² -8x+14 bei der PQ Formel p = 8 wäre. Dann wäre -p/2  = 4

Du sagst aber p ist p/2 = √2, was ist dann, wenn nicht 8?

-x1  und p/2 addieren um den x wert de scheitel punktes zu Addieren verstehe ich auch.

dann müsste ich nur noch einsetzten um den Sy z bekommen.

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Vorsicht, das p hat mit der pq-Formel nichts zu tun ;). Vielleicht nimmst Du statt p einfach d?

Also d sei der Abstand und wir wollen letztlich d/2.

Die Sache dann klar?

Der Rest Deiner Aussagen passt ;).

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Eine Parabel ist immer symmetrisch zu einer senkrechten Geraden durch den Scheitelpunkt.

Die Nullstellen befinden sich bei der pq-Formel bei
x = -p/2 ± √(...)

Das -p/2 ist also die Symmetrieachse und in einer Entfernung von -√(...) oder +√(...) befinden sich die beiden Nullstellen.
Die -p/2 ist also gleichzeitig in der Normalform die X-Koordinate des Scheitelpunktes.

In der allgemeinen Form.

f(x) = ax^2 + bx + c

ist die X-Koordinate des Scheitelpunktes dann nur
Sx = -b/(2a)

Leider wird das eigentlich nie wirklich in der Schule so erzählt, sodass man meist über eine langwierige quadratische Ergänzung zum Scheitelpunkt kommen muss.

Ich finde es aber wichtig die Symmetrie der Parabel zu kennen und deswegen auch den Zusammenhang zur pq- oder zur abc-Formel.

Answer 3

  ich habe gerade mal nachgeschaut : Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x mit einer Potenz
vorkommt. Beispiele f(x) = x^2 oder x^3 oder 4 *x^2 oder x^27 usw

  Alle deine Funktionen sind also Potenzfunktionen. Sie sind außerdem Funktionen 2.Grades
Allgemein : f(x) = ax^2 + bx + c. Zur Berechnung des Nullpunkts bräuchte man die quadratische
Ergänzung oder die pq-Formel. Die Berechnung des Scheitelpunktes könnte mit der ersten
Ableitung erfolgen.

Geben Sie den Scheitel und die Nullstellen des Graphen an.  a) f(x) = x² -8x+14

  f ( x ) = x^2 - 8x + 14

  Nullstelle: ( mit quadratischer Ergänzung )
  x^2 - 8x + 14 = 0
  x^2 -8x + 4^2 = -14 + 4^2
  ( x - 4 )^2 = 2
    x - 4 = ±√2
    x  = ±√2 + 4

    x = √2 + 4
    x = -√2 + 4

  Die Funktion hat also 2 Nullstellen ( √2 + 4 l 0 ) und ( -√2 + 4 l 0 )

  Scheitelpunkt ( mit 1.Ableitung )
  f ´ ( x ) = 2*x - 8

  f ´( x ) = 0 ( Scheitelpunkt )
  2*x - 8 = 0
  2*x = 8
  x = 4
  f (4) = 4^2 - 8*4 + 14
  f (4) = -2
  S ( 4 l -2 )

  Die andern Aufgaben lassen sich auch nach diesem Schema berechnen.
  Vorher ausmultiplizieren.

  Bei Fragen wieder melden.

  mfg Georg

 

 

Comments

Hallo Georg!:D

etwas ist noch unklar:

Scheitelpunkt ( mit 1.Ableitung ) 
  f ´ ( x ) = 2*x - 8

WIe kommst du darauf? Was hast du gemacht?

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Hallo Johana1,

  es müßte zunächst einmal geklärt werden was dir als mathematische
Verfahren bekannt sind.

  Von der Aufgabenstellung her sollten dir die quadratische Ergänzung,
pq-Formel, eventuell Scheitelpunktform bekannt sein. Ohne diese
Verfahren geht es nämlich nicht.  Siehe auch die beiden anderen Antworten.

  Ich habe beim Berechnen des Scheitelpunkts die Differnetialrechnung
verwendet. Nach deiner Frage zu urteilen habt Ihr das im Unterricht noch
nicht gehabt ?

  Bei den beiden anderen Antworten sind andere Überlegungen und
Berechnungsweisen angewendet worden.

  mfg Georg

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Vielen Dank Georg! :D Das stimmt ich kenne die Differential Gleichung noch nicht. Ich verstehe wie du vorgegangen bist. Nur nicht, wie du auf f ´ ( x ) = 2*x - 8 gekommen bist. Könntest du mir das erklären :D

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Hallo johana1,

  f (  x  ) = x² - 8x^1  + 14
  allgemein
  f = x^a - 8 * x^b + 14
  f ´ = a * x^{a-1} - 8 * b * x^{b-1}

  f ´( x ) =  2 * x^{2-1} - 8 * 1 * x^{1-1}
  f ´( x ) = 2 * x - 8

  Dies ist die Steigungsfunktion einer Funktion = 1.Ableitung. Am Scheitelpunkt
ist die Steigeung 0, daher

  2 * x - 8 = 0
  x = 4

  Falls die noch keine Differtialrechnung gehabt hast, ist es dir wahrscheinlich nicht
möglich dies alles nachzuvollziehen.

  mfg Georg