Nachweis Differenzierbarkeit Funktion R^2→R

Question

Aufgabe:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{|x|^{3} \sin \left(\frac{1}{|x|^{2}}\right)} & {\text { für } x \neq 0} \\ {0} & {\text { für } x=0}\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Um nachzuzeigen, dass die Funktion differenzierbar ist, leite ich sie einfach nur ab? Eigentlich habe ich damit keine Probleme, aber hier hänge ich einfach fest.

Answer 1

Missverständnis: R1→ R1

1. Schreibe ohne Betrag:

f(x)={x³ sin(1/x²) für x>0

f(x)={-x³ sin(1/x²) für x<0

f(x)={0 für x=0

Die einzige kritische Stelle ist x=0.

2. Weise die Stetigkeit nach: \( \lim\limits_{h\to0} \) f(h)=\( \lim\limits_{h\to0} \) f(h)=f(0)  (lim von links und von rechts)

                                             h>0          h<0

\( \lim\limits_{h\to0} \) f(h) = h³ sin(1/h²)=0, weil I sin(1/h²) I≤1, beschränkt  

h>0

dasselbe für h<0 und h=0 machen, jedesmal kommt 0 raus, deshalb Stetigkeit

3. Bilde den Differentialquotienten:

\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \) =\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{h3 sin(1/h2)-0}{h} \)=\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{h2 sin(1/h2)-0}{1} \)=0, wie oben

h>0

dasselbe für h<0  machen, jedesmal kommt 0 raus, deshalb Differenzierbarkeit

Wenn die Abb. wirklich aus R2 → R1 gehen soll, muss man alles umschreiben:

f(x,y) = {(x² +y²)^1,5  sin (x² +y²)^-1   für (x,y) ≠ (0,0)

            { 0 sonst

Hieß die Aufg. dann: Weise die totale Diff.barkeit in (0,0) nach?

Dann so wie ganz oben!

Comments

super danke, aber ich dachte ich kann den betrag nicht einfach weglassen, da ich ja von R^2 in R abbilde.

Aber das vorgehen müsste ja anschließend dasselbe sein, oder?

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super danke, aber ich dachte ich kann den betrag nicht einfach weglassen, da ich ja von R2 in R abbilde.

Den Betrag darf man nicht weglassen, habe ich auch nicht gemacht, sondern "ausgerechnet", 2. Zeile:

f(x)={-x³ sin(1/x²) für x<0

Der ℝ²  kommt in der Aufgabe nicht vor. Die geschweifte Klammer bedeutet eine fallweise Definition.

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Hallo Helmus,

x ist ein Vektor, keine relle Zahl.

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Danke, ich ändere es.

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in der Aufgabe steht wirklich nur, an soll zeigen, dass f in jeden punkt differenzierbar ist

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steht R2 → R1  oben drüber? Habt ihr schon die totale Diff.barkeit behandelt?

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ja steht es.

bisher haben wir partielle diff.barkeit, Richtungsableitung, stetig diffbarkeit mit dem vermerkt, dass stetiige diffbar diffbarkeit impliziert

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Dann so wie ganz oben!