Gruppen und Untergruppen (Informatik)

Question

1. Sei \( \langle G, \oplus) \) eine Gruppe. Für ein beliebiges \( a \in G \) ist \( \lambda_{a}: G \rightarrow G, \) die sogenannte Linkstranslation um \( a \), definiert durch:
\( \lambda_{a}(x)=_{d f} a \oplus x \)
Zeigen Sie, dass die Menge der Linkstranslationen
$$ T=_{d f}\left\{\lambda_{a} | a \in G\right\} $$
mit der üblichen Funktionskomposition, also \( \langle T, \circ\rangle, \) eine Gruppe ist.
2. Sei \( n \geq 2 \) und \( S_{n} \) die aus der Vorlesung bekannte symmetrische Gruppe. Zeigen Sie, dass
$$ U_{n}=_{d f}\left\{\pi \in S_{n} | \pi(1)=1\right\} $$
eine Untergruppe von \( S_{n} \) ist.

Ich weiß, dass man z.b. bei Nr. 2 die Voraussetzungen für eine Gruppe nennen muss und dann zeigen muss, dass Sn die gleichen Voraussetzungen erfüllt, wie Un, jedoch habe ich keine Ahnung wie ich das als beweis darstellen soll.

Comments

"Die aus der Vorlesung bekannte symmetrische Gruppe". ;)

Schreibe ruhig deren Definition hin. Du brauchst die in der Antwort.

Answer 1

zu 2.:  Du musst doch - wie du sagst - nur zeigen, dass die Gruppenaxiome

für U_n erfüllt sind.   Und U_n ist die Teilmenge der Permutationen von {1,...,n},

bei der die 1 fest bleibt: Das heißt doch π(1)=1.

Also los

Abgeschlossenheit: Seien a,b ∈ U_n . Dann gilt nach Definition von U_n

a(1)=1  und b(1) = 1 .

==>   aob (1) = a( b(1) ) = a(1 ) = 1

Also ist die Verkettung von a und b auch eine Perm. die 1 fest lässt,

also aob ∈ U_n .

Assoziativität:   Gilt für alle aus S_n, also auch für alle aus U_n .

neutrales El.:  Das ist die identische Perm. id.  Die ist auch in U_n, da id(1)=1.

Zu jedem ein inverses:  Sei a ∈ Un . a besitzt jedenfalls in S_n ein inverses a^(-1)

mit der Eigenschaft (a^(-1)oa) = id .  also insbesondere

(a^(-1)oa)  (1)  = 1

<=>   a^(-1) ( a(1) ) = 1

<=>   a^(-1) ( 1 ) = 1 , also ist auch a^(-1) eine Permutation, die 1 fest lässt, und

somit a^(-1) ∈ Un .                q.e.d.

Comments

Vielen dank, könntest du mir auch bei nr.1 helfen?

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Kannst du entsprechend machen:

Abgeschl:  Zeige, dass die Hintereinanderausführung zweier Linkstranslationen wieder eine ist.

assoziativ: Für Untergruppen nicht nötig

neutral: λ_e   wenn e das neutrale Element von G ist

und invers zu λ_a  ist λ_a^(-1)

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Okay danke. Hab alles gezeigt außer die abgeschlossenheit, da komm ich nicht drauf. Wie sieht der Beweis dafür aus?