Komplexe Gleichungen lösen: a) zKONJUGIERT=z^3 b) |z|^5=z^5

Question

Bestimmen Sie alle z∈ℂ, die die folgenden Gleichungen erfüllen:
a) z*=z³ (wobei * wahrscheinlich für das konjugiert komplexe stehen soll)

b) |z|⁵=z⁵

..ich habe leider keinerlei Ansatz, ich weiß nur, dass ich bei zⁿ auch n Lösungen benötige.

Answer 1

a - b·i = (a + b·i)^3
a - b·i = a^3 + 3·a^2·b·i + 3·a·b^2·i^2 + b^3·i^3
a - b·i = a^3 + 3·a^2·b·i - 3·a·b^2 - b^3·i
a - b·i = (a^3 - 3·a·b^2) + (3·a^2·b - b^3)·i

a = a^3 - 3·a·b^2
-b = 3·a^2·b - b^3

Lösungen sind hier:

a = 0 ∧ b = 0
a = 0 ∧ b = 1 
a = 0 ∧ b = -1 
a = 1 ∧ b = 0 
a = -1 ∧ b = 0

Ich hoffe ich habe alle notiert.

Comments

wie kommt man denn von der Gleichung auf die Lösungen? ..und ich dachte es dürfen nur so viele Lösungen sein, wie der Grad hoch ist, also hier bei dem Bsp. nur 3 anstatt 5?

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hab die Lösung glaub ich verstanden, also nur für die Kombinationen aus x und y ist die Gleichung erfüllt? =)
..und die b)? |z|^5=z^5
weiß nicht was ich da mit dem Betrag anfangen soll?

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Wir ist denn der Betrag einer komplexen Zahl definiert ?

|a + b·i| = √(a^2 + b^2)


√(a^2 + b^2)^5 = (a + b·i)^5

(a^2 + b^2)^{5/2} = a^5 - 10·a^3·b^2 + 5·a·b^4 + (5·a^4·b - 10·a^2·b^3 + b^5)·i

Der Imaginärteil muss jetzt auf der rechten Seite Null sein.

5·a^4·b - 10·a^2·b^3 + b^5 = 0

Probier mal alleine weiter zu machen.

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also die Gleichung ist nur erfüllt, wenn b=0 ist (der Wert von a ist dann egal), oder?


..aber wieso wird der Imaginärteil auf der rechten Seite 0?

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Hast du denn auf der linken Seite einen Imaginäranteil?