Integral mit trigonometrischen Funktionen berechnen

Question

liebe Helfer,

ich bin am verzweifeln. Das Integral sieht einfach aus, aber ich kriege es einfach nicht geknackt:

$$\int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}dx$$

Wäre toll, wenn mir jemand dabei helfen könnte...

Answer 1

Aloha :)

Gesucht ist das folgende Integral:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}\,dx$$Substituiere: \(x:=\frac{\pi}{2}-y\;\;;\;\;dx=-dy\;\;;\;\;y=\frac{\pi}{2}-x\;\;;\;\;y(0)=\frac{\pi}{2}\;\;;\;\;y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)
$$I=\int\limits_{\pi/2}^0\frac{\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{2}-y\right)}}{\sqrt{\tan\left(\frac{\pi}{2}-y\right)}+\sqrt{\cot\left(\frac{\pi}{2}-y\right)}}\,(-dy)$$Das Minuszeichen von \((-dy)\) kompensieren wir durch Vertauschung von oberer und unterer Integrationsgrenze. Bei den Winkelfunktionen nutzen wir das aus, wo die \(\text{co}\)-Funktionen ihren Namen her haben, dass sie nämlich im rechtwinkligen Dreieck zu den komplementären Winkeln übergehen:$$\cos\left(x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\sin\left(x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\tan\left(x\right)=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\cot\left(x\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$Nach diesen Umformungen lautet unser substituiertes Integral:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cot\left(y\right)}}{\sqrt{\cot\left(y\right)}+\sqrt{\tan\left(y\right)}}\,dy=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cot\left(x\right)}}{\sqrt{\cot\left(x\right)}+\sqrt{\tan\left(x\right)}}\,dx$$Beachte, dass hinter dem zweiten Gleichheitszeichen der Variablenname \(y\) durch \(x\) ersetzt wurde, was den Wert des Integrals nicht ändert. Wir haben nun 2 Integrale mit demselben Wert \(I\). Addition der beiden liefert:
$$2I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}\,dx+\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cot\left(x\right)}}{\sqrt{\cot\left(x\right)}+\sqrt{\tan\left(x\right)}}\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}+\frac{\sqrt{\cot\left(x\right)}}{\sqrt{\tan\left(x\right)}+\sqrt{\cot\left(x\right)}}\right)\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}$$Damit sind wir fertig:$$I=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\tan(x)}}{\sqrt{\tan(x)}+\sqrt{\cot(x)}}\,dx=\frac{\pi}{4}$$

Comments

Boah, du glaubst ja gar nicht, wie lange ich an dieser Aufgabe gerätselt habe. Aber offenbar habe ich zu wenig nachgedacht und zu viel gerechnet.

Wirklich eine galaktische Lösung...

Vielen vielen Dank dafür!!!

Answer 2

Die Aufgabe geht doch:

Die Integralgrenzen sind keine Polstellen, sondern hebbare Lücken, also darf man drüber weg integrieren, wie es Tschakabumba gemacht hat

Weil der Graph von f(x) = \( \frac{\sqrt{tan(x)}}{\sqrt{tan(x)+cot(x)}} \)

sym. zu (π/4 I 1/2) ist, ist A= 1/2 g*h = 1/2 (2*π/4) * (2*1/2) = π/4 (flächengleiches Dreieck).

Tschakabumba war leider schneller  :)

Comments

Hallo Helmus,

danke für die Mühe, aber du hast den Nenner falsch gelesen. Der Nenner hat keine durchgezogene Wurzel, sondern ist eine Summe von zwei Wurzeln.

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Ich hab den Nenner abgeändert, weil mit deinem Nenner ein Riesenterm mit ln(tan(π/2))

auftauchen würde, was nicht geht. Da tan(π/2) nicht existiert und cot(0) nicht existiert, handelt es sich um ein uneigentliches Integral. Deins ohne Abänderung hat keine Lösung. Mit Abänderung s.o.

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Wolframalpha sagt aber, dass 0,785398 rauskommt.

Answer 3

diese Integral kannst Du auch  mittels Weierstraß-  Substitution lösen

(falls behandelt)

Setze:

tan(x)= (2t) /(1-t^2)

cot(x)=(1-t^2)/(2t)

dx=(2 dt)/(1+t^2)

usw.